Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
A área de uma região R do plano x y é dada por \iint_{R} x y d A.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos saber se a área de uma região R no plano xy pode ser calculada por
\iint_{R} x\,y\,dA.
O conteúdo envolvido é o uso de integrais duplas para calcular área de regiões.

Passo 2

Teorema fundamental: a área de uma região R é dada por
\text{Área}(R)=\iint_{R}1\,dA,Á
e não por uma integral cujo integrando dependa de x e y.

Passo 3

Contraexemplo simples: seja R=[0,1]\times[0,1].
  • A área real de R é
\iint_{R}1\,dA =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}1\,dx\,dy =1.
  • Porém
\iint_{R}x\,y\,dA =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}x\,y\,dx\,dy =\Bigl(\int_{0}^{1}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}y\,dy\Bigr) =\frac12\cdot\frac12 =\frac14\neq1.

Passo 4

Como em geral x\,y\neq1, a integral \iint_{R}x\,y\,dA não coincide com a área de R.

Resposta

Falso. A área de R é \iint_{R}1\,dA, e não \iint_{R}x\,y\,dA.

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