Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se uma série satisfizer as hipóteses do teste da série alternada, então a sequência das somas parciais da série oscilará entre estimativas por excesso e por falta da soma da série.
Se uma série satisfizer as hipóteses do teste da série alternada, então a sequência das somas parciais da série oscilará entre estimativas por excesso e por falta da soma da série.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação “Se uma série satisfizer as hipóteses do teste da série alternada, então a sequência das somas parciais da série oscilará entre estimativas por excesso e por falta da soma da série” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o teste da série alternada (ou teste de Leibniz) e o comportamento das subsequências de somas parciais.
Passo 2
Recordando o teste de Leibniz: considere a série
com
-
para todo , -
decrescente, e -
.
Sob essas hipóteses, a série converge.
Passo 3
Defina a soma parcial de ordem
por
Separe as subsequências pares e ímpares:
Como
é decrescente, mostra-se que
Passo 4
Pela convergência da série, ambas as subsequências têm o mesmo limite
. Além disso, para todo
vale
Isto significa que cada soma parcial de ordem par fica abaixo da soma exata (estimativa por falta) e cada soma parcial de ordem ímpar fica acima (estimativa por excesso). Logo, as somas parciais oscilam entre excesso e falta.
Resposta
Verdadeiro.