Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se uma série satisfizer as hipóteses do teste da série alternada, então a sequência das somas parciais da série oscilará entre estimativas por excesso e por falta da soma da série.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação “Se uma série satisfizer as hipóteses do teste da série alternada, então a sequência das somas parciais da série oscilará entre estimativas por excesso e por falta da soma da série” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o teste da série alternada (ou teste de Leibniz) e o comportamento das subsequências de somas parciais.

Passo 2

Recordando o teste de Leibniz: considere a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}a_n
com
  1. a_n>0 para todo n,
  2. (a_n) decrescente, e
  3. \lim_{n\to\infty}a_n=0.
    Sob essas hipóteses, a série converge.

Passo 3

Defina a soma parcial de ordem N por
S_N=\sum_{n=1}^{N}(-1)^{\,n-1}a_n.
Separe as subsequências pares e ímpares:
S_{2n}=(a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \cdots + (a_{2n-1}-a_{2n}),
S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}.
Como a_n é decrescente, mostra-se que
S_{2n}\text{ é crescente} \quad\text{e}\quad S_{2n+1}\text{ é decrescente}.éé

Passo 4

Pela convergência da série, ambas as subsequências têm o mesmo limite S. Além disso, para todo n vale
S_{2n}\;\le\;S\;\le\;S_{2n+1}.
Isto significa que cada soma parcial de ordem par fica abaixo da soma exata (estimativa por falta) e cada soma parcial de ordem ímpar fica acima (estimativa por excesso). Logo, as somas parciais oscilam entre excesso e falta.

Resposta

Verdadeiro.

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