Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se uma série convergir, então ela convergirá absoluta ou condicionalmente.

Passo 1

O enunciado considera uma série numérica \sum a_n que converge e pergunta se, sempre que ela converge, ela necessariamente converge ou absolutamente ou condicionalmente. O conteúdo aqui é a classificação das séries convergentes em duas categorias: convergência absoluta e convergência condicional.

Passo 2

Lembrando as definições:
  • Dizemos que \sum a_n converge absolutamente se a série dos valores absolutos
\sum |a_n|
também converge.
  • Dizemos que \sum a_n converge condicionalmente se \sum a_n converge, mas
\sum |a_n|
diverge.

Passo 3

Agora, suponha que \sum a_n converge. Então, ou a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge, ou ela diverge.
  1. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge absolutamente.
  2. Se \sum |a_n| diverge, mas sabemos que \sum a_n converge, então pela definição \sum a_n converge condicionalmente.
Portanto, não há outra possibilidade: toda série convergente é ou absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.

Resposta

Verdadeiro.

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