É verdadeiro ou falso?
(f) Seja f : [1,+\infty) \rightarrow(0,+\infty) contínua e decrescente. Então \sum_{n=1}^{+\infty} f(n)=\int_{1}^{+\infty} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para toda função contínua decrescente f:[1,+\infty)\to(0,+\infty), vale sempre a igualdade
\sum_{n=1}^{+\infty}f(n) = \int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx.
O conteúdo aqui é o Teste da Integral, que relaciona séries de termos positivos e integrais impróprias, mas em geral fornece desigualdades, não igualdade exata.

Passo 2

Pelo Teste da Integral, para f contínua, positiva e decrescente vale
\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx \;\le\; \sum_{n=1}^{+\infty}f(n) \;\le\; f(1) + \int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx.
Isso mostra que a soma da série difere da integral por, no máximo, o termo f(1), mas não garante igualdade.

Passo 3

Para ver que não há igualdade em geral, considere o contraexemplo
f(x)=\frac1{x^2}.
Então
\sum_{n=1}^{+\infty}f(n) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2} =\frac{\pi^2}{6},
enquanto
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\Bigl[-\frac1x\Bigr]_{1}^{\infty} =1.
Como \pi^2/6\neq1, a igualdade proposta falha.

Resposta

Falso.

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