É verdadeiro ou falso?
(f) Seja
:
contínua e decrescente. Então
.
(f) Seja
Passo 1
O enunciado pergunta se, para toda função contínua decrescente
, vale sempre a igualdade
O conteúdo aqui é o Teste da Integral, que relaciona séries de termos positivos e integrais impróprias, mas em geral fornece desigualdades, não igualdade exata.
Passo 2
Pelo Teste da Integral, para
contínua, positiva e decrescente vale
Isso mostra que a soma da série difere da integral por, no máximo, o termo
, mas não garante igualdade.
Passo 3
Para ver que não há igualdade em geral, considere o contraexemplo
Então
enquanto
Como
, a igualdade proposta falha.
Resposta
Falso.