É verdadeiro ou falso?
(d) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} são divergentes, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) é divergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se, ao termos duas séries numéricas divergentes \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}, necessariamente a série \sum_{n=1}^{+\infty}(a_{n}+b_{n}) também diverge.
O conteúdo envolve definição de divergência de séries e contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa.

Passo 2

Para refutar a afirmação, basta dar um contraexemplo em que cada série isolada diverge, mas a soma delas seja convergente.
Escolhemos
a_{n} = 1
e
b_{n} = -1
para todo n\ge1.

Passo 3

Calculamos as séries parciais:
A série de a_{n} tem soma parcial
S_{N}^{(a)} = \sum_{n=1}^{N}a_{n} = \sum_{n=1}^{N}1 = N,
que cresce sem limite, logo \sum a_{n} diverge para +\infty.
A série de b_{n} tem soma parcial
S_{N}^{(b)} = \sum_{n=1}^{N}b_{n} = \sum_{n=1}^{N}(-1) = -N,
que diverge para -\infty.
Porém, a série da soma
\sum_{n=1}^{N}(a_{n}+b_{n}) = \sum_{n=1}^{N}(1-1) = \sum_{n=1}^{N}0 = 0
é constante e, portanto, converge (à soma 0).

Resposta

A afirmação é falsa.

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