É verdadeiro ou falso?
(d) Se
e
são divergentes, então
é divergente.
(d) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao termos duas séries numéricas divergentes
e
, necessariamente a série
também diverge.
O conteúdo envolve definição de divergência de séries e contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
O conteúdo envolve definição de divergência de séries e contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
Passo 2
Para refutar a afirmação, basta dar um contraexemplo em que cada série isolada diverge, mas a soma delas seja convergente.
Escolhemos
Escolhemos
e
para todo
.
Passo 3
Calculamos as séries parciais:
A série de tem soma parcial
A série de
que cresce sem limite, logo
diverge para
.
A série de tem soma parcial
A série de
que diverge para
.
Porém, a série da soma
Porém, a série da soma
é constante e, portanto, converge (à soma
).
Resposta
A afirmação é falsa.