Encontre a área da região limitada por y=9 x \sqrt{4-x^{2}}, x=0, x=2 e y=0.
Dica 1: use a substituição x=2 \operatorname{sen} \theta ou u=4-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada por \;y = 9x\sqrt{4 - x^2}, pelas retas \,x=0, \,x=2 e pelo eixo \,y=0.
O conteúdo aqui é cálculo de área por integral definida de função de x, usando substituição.

Passo 2

A área A é dada pela integral de y em x de 0 a 2:
A = \int_{0}^{2} 9x\sqrt{4 - x^2}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 4 - x^2, \quad du = -2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Em x=0, u=4; em x=2, u=0. Logo
A = 9 \int_{0}^{2} x\sqrt{4 - x^2}\,dx = 9 \int_{u=4}^{u=0} \sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) = -\tfrac{9}{2}\int_{4}^{0} u^{1/2}\,du = \tfrac{9}{2}\int_{0}^{4} u^{1/2}\,du.

Passo 5

Calculamos a primitiva:
\int u^{1/2}\,du = \tfrac{2}{3}u^{3/2},
portanto
A = \tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{0}^{4} = 3\bigl(4^{3/2}-0\bigr) = 3\cdot8 = 24.

Resposta

A área da região é 24.

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