Verdadeiro ou falso? Justifique
(b) Os coeficientes de Fourier de
se calculam somando os coeficientes correspondentes de
e de
.
(b) Os coeficientes de Fourier de
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, e pede justificativa:
- Afirmação: “Os coeficientes de Fourier de
se calculam somando os coeficientes correspondentes de e de .”
Informações relevantes (pressupostos mínimos que a questão usa):
- Assume-se que
e são funções para as quais os coeficientes de Fourier estão definidos (por exemplo, funções -periódicas e integráveis em ou contínuas por partes). - A pergunta quer saber se, para cada coeficiente (constante e harmônicos), o coeficiente de
é igual à soma dos coeficientes de e de .
Passo 2
Vou escrever as fórmulas padrão dos coeficientes de Fourier (para funções
-periódicas; o raciocínio é análogo em outros intervalos com ajuste de constantes):
Aqui:
-
é o coeficiente constante (módulo de normalização), -
e são os coeficientes das componentes e , - a notação
indica o -ésimo coeficiente calculado para a função .
Passo 3
Lembra daquela propriedade básica de integrais que salva vidas em provas: a integral é linear. Ou seja, se
e
são integráveis então
e para qualquer constante
,
Essa propriedade é tudo que vamos usar: permite separar a integral do somatório em somatório de integrais.
Passo 4
Agora aplico essa linearidade diretamente às fórmulas dos coeficientes. Para a função
temos, por exemplo:
Usando linearidade da integral (distribuindo o produto também, que é apenas uma constante em
no sentido de fatorar
dentro da integral),
Pelo que definimos em
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para
:
E para o coeficiente constante:
Portanto cada coeficiente de Fourier de
é a soma dos coeficientes correspondentes de
e de
.
Passo 6
Observações e condições técnico-práticas (úteis para uma prova):
- A propriedade usada é pura linearidade da integral; ela vale sempre que as integrais que definem os coeficientes existirem (por exemplo, se
ou são contínuas por partes). Então a afirmação é verdadeira sob as hipóteses usuais que garantem existência dos coeficientes. - Em linguagem mais geral: a transformação que manda
nos seus coeficientes de Fourier é uma aplicação linear (um funcional linear para cada coeficiente). Isso explica por que a soma se comporta bem. - Exemplo concreto bem rápido para fixar: tome
e . Os coeficientes não-nulos são e ; para obtem-se exatamente e (onde alguns desses são zero), mostrando na prática a soma dos coeficientes.
Resposta
Verdadeiro.