Verdadeiro ou falso? Justifique
(b) Os coeficientes de Fourier de f(x)+g(x) se calculam somando os coeficientes correspondentes de f(x) e de g(x).

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, e pede justificativa:
  • Afirmação: “Os coeficientes de Fourier de f(x)+g(x) se calculam somando os coeficientes correspondentes de f(x) e de g(x).”
Informações relevantes (pressupostos mínimos que a questão usa):
  • Assume-se que f e g são funções para as quais os coeficientes de Fourier estão definidos (por exemplo, funções 2\pi-periódicas e integráveis em [-\pi,\pi] ou contínuas por partes).
  • A pergunta quer saber se, para cada coeficiente (constante e harmônicos), o coeficiente de f+g é igual à soma dos coeficientes de f e de g.

Passo 2

Vou escrever as fórmulas padrão dos coeficientes de Fourier (para funções 2\pi-periódicas; o raciocínio é análogo em outros intervalos com ajuste de constantes):
a_0(f)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n(f)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad (n\ge 1),
b_n(f)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad (n\ge 1).
Aqui:
  • a_0(f) é o coeficiente constante (módulo de normalização),
  • a_n(f) e b_n(f) são os coeficientes das componentes \cos(nx) e \sin(nx),
  • a notação a_n(f) indica o n-ésimo coeficiente a_n calculado para a função f.

Passo 3

Lembra daquela propriedade básica de integrais que salva vidas em provas: a integral é linear. Ou seja, se h(x) e k(x) são integráveis então
\int (h(x)+k(x))\,dx = \int h(x)\,dx + \int k(x)\,dx,
e para qualquer constante c,
\int c\cdot h(x)\,dx = c\int h(x)\,dx.
Essa propriedade é tudo que vamos usar: permite separar a integral do somatório em somatório de integrais.

Passo 4

Agora aplico essa linearidade diretamente às fórmulas dos coeficientes. Para a função f+g temos, por exemplo:
a_n(f+g)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (f(x)+g(x))\cos(nx)\,dx.
Usando linearidade da integral (distribuindo o produto também, que é apenas uma constante em x no sentido de fatorar \cos(nx) dentro da integral),
a_n(f+g)=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx + \int_{-\pi}^{\pi} g(x)\cos(nx)\,dx\right).
Pelo que definimos em \

Passo 5

a_n(f+g)=a_n(f)+a_n(g).
O mesmo raciocínio vale para b_n:
b_n(f+g)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (f(x)+g(x))\sin(nx)\,dx
\Rightarrow b_n(f+g)=b_n(f)+b_n(g).
E para o coeficiente constante:
a_0(f+g)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (f(x)+g(x))\,dx = a_0(f)+a_0(g).
Portanto cada coeficiente de Fourier de f+g é a soma dos coeficientes correspondentes de f e de g.

Passo 6

Observações e condições técnico-práticas (úteis para uma prova):
  • A propriedade usada é pura linearidade da integral; ela vale sempre que as integrais que definem os coeficientes existirem (por exemplo, se f,g\in L^1([-\pi,\pi]) ou são contínuas por partes). Então a afirmação é verdadeira sob as hipóteses usuais que garantem existência dos coeficientes.
  • Em linguagem mais geral: a transformação que manda f nos seus coeficientes de Fourier é uma aplicação linear (um funcional linear para cada coeficiente). Isso explica por que a soma se comporta bem.
  • Exemplo concreto bem rápido para fixar: tome f(x)=\sin x e g(x)=\cos x. Os coeficientes não-nulos são b_1(f)=1 e a_1(g)=1; para f+g obtem-se exatamente b_1(f+g)=b_1(f)+b_1(g) e a_1(f+g)=a_1(f)+a_1(g) (onde alguns desses são zero), mostrando na prática a soma dos coeficientes.

Resposta

Verdadeiro.

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