(2,0) Quando uma pequena barra de metal é retirada de um forno, sua temperatura é de 550^{\circ} \mathrm{C}. Cinco minutos depois, sua temperatura passa para 360^{\circ} \mathrm{C}. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 40^{\circ} \mathrm{C}, se a temperatura do meio em foi colocado for de exatamente 30^{\circ} \mathrm{C} ? E em quanto tempo a temperatura da barra será igual à temperatura do meio que se encontra? Justifique sua resposta. Lei de resfriamento de Newton: \mathrm{dT} / \mathrm{dt}=\mathrm{k} .\left(\mathrm{T}-\mathrm{T}_{\mathrm{amb}}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados (pegar do enunciado):
    • Temperatura inicial da barra em t=0: T(0)=550^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da barra em t=5\\ \text{min}: T(5)=360^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do meio (ambiente): T_{\mathrm{amb}}=30^\circ\mathrm{C}.
    • Lei dada: \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=k\,(T-T_{\mathrm{amb}}).
  • Perguntas:
    1. Quanto tempo (a partir de t=0) leva para a temperatura da barra chegar a 40^\circ\mathrm{C}?
    2. Em quanto tempo a temperatura da barra será igual à temperatura do meio T_{\mathrm{amb}}=30^\circ\mathrm{C}? Justificar.

Passo 2

Entender e resolver a equação diferencial (a teoria por trás).
  • A equação \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=k\,(T-T_{\mathrm{amb}}) é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com solução exponencial. Aqui:
    • T(t) é a temperatura da barra no instante t (em minutos).
    • T_{\mathrm{amb}} é a temperatura do ambiente (constante).
    • k é uma constante que determina a taxa de variação. Note que, para resfriamento, k<0 (porque T-T_{\mathrm{amb}}>0 inicialmente e \mathrm{d}T/\mathrm{d}t}<0).
  • Método de solução (separação de variáveis):
    \frac{\mathrm{d}T}{T-T_{\mathrm{amb}}}=k\,\mathrm{d}t.
    Integrando dos dois lados:
    \ln|T-T_{\mathrm{amb}}|=kt+C,
    onde C é constante de integração. Exponenciando,
    T(t)-T_{\mathrm{amb}}=A\,e^{kt},
    com A constante determinada pela condição inicial. Portanto a forma geral é
    T(t)=T_{\mathrm{amb}}+A\,e^{kt}.

Passo 3

Aplicar a condição inicial para achar A.
  • Em t=0, T(0)=550^\circ\mathrm{C}. Logo 550 = T_{\mathrm{amb}} + A \quad\Rightarrow\quad A = 550 - T_{\mathrm{amb}}.
  • Como T_{\mathrm{amb}}=30^\circ\mathrm{C}, obtemos A = 550 - 30 = 520.
  • Assim a solução específica é T(t)=30 + 520\,e^{kt}.

Passo 4

Determinar a constante k usando a informação em t=5\\ \text{min}.
  • Sabemos que T(5)=360^\circ\mathrm{C}. Substituindo na solução: 360 = 30 + 520\,e^{5k}.
  • Isolando o exponencial: 520\,e^{5k} = 360 - 30 = 330,
e^{5k} = \frac{330}{520} = \frac{33}{52}.
  • Tomando logaritmo natural: 5k = \ln\!\left(\frac{33}{52}\right),
k = \frac{1}{5}\ln\!\left(\frac{33}{52}\right).
  • Cálculo aproximado (apenas para obter valor numérico): \ln\!\left(\frac{33}{52}\right)\approx -0{,}4547\quad\Rightarrow\quad k\approx -0{,}09094\\ \text{min}^{-1}.(o sinal negativo confirma que a barra está se resfriando).

Passo 5

Calcular o tempo t para T(t)=40^\circ\mathrm{C}.
  • Colocar T(t)=40 na solução: 40 = 30 + 520\,e^{kt}.
  • Isolando o exponencial: 520\,e^{kt} = 10,
e^{kt} = \frac{10}{520} = \frac{1}{52}.
  • Tomando logaritmo natural: kt = \ln\!\left(\frac{1}{52}\right) = -\ln(52).
  • Portanto t = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{1}{52}\right).
  • Substituindo o valor numérico de k: t \approx \frac{-3{,}951243}{-0{,}09094}\approx 43{,}46\\ \text{min}.
  • Interpretação: a barra levará aproximadamente 43{,}46 minutos a partir do instante inicial t=0 para alcançar 40^\circ\mathrm{C}.
  • Observação prática: como já se passaram 5 minutos quando a temperatura era 360^\circ\mathrm{C}, faltariam aproximadamente 43{,}46-5=38{,}46 minutos a partir daquele instante de 5 minutos.

Passo 6

Responder quando a temperatura será igual à do meio (justificação).
  • A condição T(t)=T_{\mathrm{amb}} exige T(t)-T_{\mathrm{amb}} = 520\,e^{kt} = 0.
  • A função exponencial e^{kt} nunca é igual a zero para nenhum valor finito de t. Portanto não existe t finito que satisfaça 520\,e^{kt}=0.
  • Conclusão matemática: a temperatura da barra aproxima-se assintoticamente de T_{\mathrm{amb}}=30^\circ\mathrm{C} quando t\to\infty, mas nunca a atinge exatamente em tempo finito.
  • Em termos de limite: \lim_{t\to\infty}T(t)=30^\circ\mathrm{C}.

Resposta

t\approx 43{,}46\\ \text{min} (a partir de t=0) para T(t)=40^\circ\mathrm{C}.
A barra não atinge exatamente T_{\mathrm{amb}}=30^\circ\mathrm{C} em tempo finito; sua temperatura tende a 30^\circ\mathrm{C} quando t\to\infty.

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