Quando uma pequena barra de metal é retirada de um forno, sua temperatura é de
. Cinco minutos depois, sua temperatura passa para
. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a
, se a temperatura do meio em foi colocado for de exatamente
? E em quanto tempo a temperatura da barra será igual à temperatura do meio que se encontra? Justifique sua resposta. Lei de resfriamento de Newton:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Dados (pegar do enunciado):
- Temperatura inicial da barra em
: . - Temperatura da barra em
: . - Temperatura do meio (ambiente):
. - Lei dada:
.
- Temperatura inicial da barra em
-
Perguntas:
- Quanto tempo (a partir de
) leva para a temperatura da barra chegar a ? - Em quanto tempo a temperatura da barra será igual à temperatura do meio
? Justificar.
- Quanto tempo (a partir de
Passo 2
Entender e resolver a equação diferencial (a teoria por trás).
-
A equação
é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com solução exponencial. Aqui: -
é a temperatura da barra no instante (em minutos). -
é a temperatura do ambiente (constante). -
é uma constante que determina a taxa de variação. Note que, para resfriamento, (porque inicialmente e ).
-
-
Método de solução (separação de variáveis):Integrando dos dois lados:onde
é constante de integração. Exponenciando, comconstante determinada pela condição inicial. Portanto a forma geral é
Passo 3
Aplicar a condição inicial para achar
.
- Em
, . Logo - Como
, obtemos - Assim a solução específica é
Passo 4
Determinar a constante
usando a informação em
.
- Sabemos que
. Substituindo na solução: - Isolando o exponencial:
- Tomando logaritmo natural:
- Cálculo aproximado (apenas para obter valor numérico):
(o sinal negativo confirma que a barra está se resfriando).
Passo 5
Calcular o tempo
para
.
- Colocar
na solução: - Isolando o exponencial:
- Tomando logaritmo natural:
- Portanto
- Substituindo o valor numérico de
: - Interpretação: a barra levará aproximadamente
minutos a partir do instante inicial para alcançar . - Observação prática: como já se passaram
minutos quando a temperatura era , faltariam aproximadamente minutos a partir daquele instante de minutos.
Passo 6
Responder quando a temperatura será igual à do meio (justificação).
- A condição
exige - A função exponencial
nunca é igual a zero para nenhum valor finito de . Portanto não existe finito que satisfaça . - Conclusão matemática: a temperatura da barra aproxima-se assintoticamente de
quando , mas nunca a atinge exatamente em tempo finito. - Em termos de limite:
Resposta
A barra não atinge exatamente