(1,5) Um tanque perfeitamente agitado está parcialmente cheio com uma solução de cloreto de sódio com concentração de 2,0 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Uma corrente contendo 1 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de NaCl é bombeada para dentro do tanque a uma vazão de 5 litros por minuto. A mistura é então drenada a mesma taxa. Calcule a concentração de saída após 30 minutos e determine o tempo em que a concentração de saída será igual à concentração de alimentação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas.
Informações fornecidas:
  • A solução inicial no tanque tem concentração \,C_0=2{,}0\\ \mathrm{g/L}.
  • A corrente de alimentação tem concentração \,C_{\rm in}=1{,}0\\ \mathrm{g/L}.
  • Vazão de entrada (igual à de saída) \,q=5\\ \mathrm{L/min}.
  • O tanque é perfeitamente agitado (mistura instantânea) e a vazão de entrada é igual à de saída, logo o volume do tanque é constante; chamo esse volume constante de \,V\\ \mathrm{L}.
O enunciado pede:
  1. Calcular a concentração de saída após 30 minutos.
  2. Determinar o tempo em que a concentração de saída será igual à concentração da alimentação.
Observação importante (informação ausente): o valor numérico do volume do tanque \,V não foi fornecido no enunciado. Esse parâmetro aparece naturalmente na equação que descreve a evolução da concentração. Portanto a resposta para a primeira pergunta só pode ser dada em função de \,V, a menos que se forneça um valor numérico para \,V. A segunda pergunta tem uma resposta qualitativa importante (ver passos adiante).

Passo 2

Modelagem física e definição das variáveis (explicando devagar e com exemplos):
  • Chamo de \,C(t) a concentração de NaCl no tanque no instante \,t (em \mathrm{g/L}).
  • A massa total de NaCl no tanque em \,t é \,M(t)=V\\ C(t) (pois massa = concentração × volume, e o volume é constante). Aqui \,V é o volume do tanque em \mathrm{L}.
  • A taxa de variação da massa de NaCl no tanque é dada por: taxa que entra menos taxa que sai. Em palavras: “o que entra por minuto menos o que sai por minuto”.
Agora escrevemos isso em fórmula (cada termo explicado):
  • Taxa de entrada de massa (g/min) = vazão × concentração de entrada = \,q\\ C_{\rm in}. Aqui \,q tem unidades \mathrm{L/min} e \,C_{\rm in} tem \mathrm{g/L}, logo o produto tem \mathrm{g/min}.
  • Taxa de saída de massa (g/min) = vazão × concentração no tanque = \,q\\ C(t).
Portanto o balanço de massa é
\frac{dM}{dt} = q\,C_{\rm in} - q\,C(t).
Como \,M(t)=V\,C(t) e \,V é constante, temos \,dM/dt = V\,\dfrac{dC}{dt}. Substituindo:
V\frac{dC}{dt} = q\bigl(C_{\rm in}-C(t)\bigr).
Dividindo por \,V (notar que isso é seguro porque \,V>0):
\frac{dC}{dt} = \frac{q}{V}\bigl(C_{\rm in}-C(t)\bigr).
Comentário sobre o sinal: se C(t)>C_{\rm in} a taxa é negativa (concentração cai); se C(t)<C_{\rm in} a taxa é positiva (concentração sobe). Faz sentido físico.

Passo 3

Resolução da equação diferencial (método e interpretação):
A equação obtida é uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea não-homogênea com coeficientes constantes. Escrevemos na forma padrão:
\frac{dC}{dt} + \frac{q}{V}C(t)=\frac{q}{V}C_{\rm in}.
Uma forma rápida e intuitiva de ver a solução: a concentração no tanque tende exponencialmente para \,C_{\rm in} com constante de decaimento \,q/V. Para ser formal, use o fator integrante. O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{q}{V}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{q}{V}t\right).
Multiplicando a equação por \mu(t) e integrando obtemos
\frac{d}{dt}\Bigl( e^{\frac{q}{V}t} C(t)\Bigr)=\frac{q}{V}C_{\rm in}\,e^{\frac{q}{V}t}.
Integramos ambos os lados de 0 a t. Com a condição inicial C(0)=C_0 chega-se à solução
C(t)=C_{\rm in} + \bigl(C_0-C_{\rm in}\bigr)\,e^{-\frac{q}{V}t}.
Explicando cada termo:
  • C_{\rm in} é o valor de equilíbrio (quando t\to\infty a exponencial vai a zero e C\to C_{\rm in}).
  • \bigl(C_0-C_{\rm in}\bigr) é a diferença inicial em relação ao equilíbrio; essa diferença decai exponencialmente com constante de tempo \tau=V/q (unidade: minutos).
  • A expressão é muito usada em tanques agitados: concentração do tanque é uma exponencial que se aproxima da concentração de alimentação.

Passo 4

Aplicando aos dados numéricos (em função de \,V):
Substituindo \,C_0=2{,}0\\ \mathrm{g/L}, \,C_{\rm in}=1{,}0\\ \mathrm{g/L} e \,q=5\\ \mathrm{L/min} na solução:
C(t)=1{,}0 + (2{,}0-1{,}0)\,e^{-\frac{5}{V}t}=1{,}0 + e^{-\frac{5}{V}t}\quad\mathrm{g/L}.
Portanto, a concentração de saída (igual à concentração no tanque, porque a mistura é perfeita) no tempo t=30\\ \mathrm{min} é
C(30)=1{,}0 + e^{-\frac{5}{V}\cdot 30}=1{,}0 + e^{-\frac{150}{V}}\quad\mathrm{g/L}.
Reforçando: sem um valor numérico para \,V não dá para avaliar o exponencial numericamente; a expressão acima é a resposta correta em função de \,V.
Exemplo ilustrativo (opcional, para intuição): se o volume do tanque fosse, por exemplo, \,V=100\\ \mathrm{L} então \tau=V/q=20\\ \mathrm{min} e
C(30)=1{,}0 + e^{-30/20}=1{,}0 + e^{-1{,}5}\approx 1{,}0 + 0{,}2231 \approx 1{,}223\\ \mathrm{g/L}.
Isto é só um exemplo numérico para ver a ordem de grandeza; o enunciado original não deu \,V, então a resposta geral em função de \,V é a correta.

Passo 5

Determinar o tempo em que a concentração de saída será igual à concentração de alimentação:
Queremos C(t)=C_{\rm in}. Usando a solução,
C_{\rm in} = C_{\rm in} + \bigl(C_0-C_{\rm in}\bigr)\,e^{-\frac{q}{V}t}.
Subtraindo C_{\rm in} de ambos os lados dá
\bigl(C_0-C_{\rm in}\bigr)\,e^{-\frac{q}{V}t}=0.
No nosso caso \,C_0-C_{\rm in}=2{,}0-1{,}0=1{,}0\neq 0. A exponencial e^{-\frac{q}{V}t} nunca é exatamente zero para nenhum t finito. Portanto não existe tempo finito em que C(t) seja exatamente igual a C_{\rm in}; a concentração apenas se aproxima assintoticamente de C_{\rm in} quando t\to\infty.
Interpretação prática: na prática pode-se atingir arbitrariamente perto de \,C_{\rm in} em tempo finito (por exemplo ficar dentro de uma tolerância \varepsilon encontrará um tempo finito), mas a igualdade exata só ocorre no limite t\to\infty.

Resposta

C_{\text{out}}(30\\ \mathrm{min})=1{,}0 + e^{-\,150/V}\\ \mathrm{g/L}
\text{Tempo em que }C_{\text{out}}=C_{\rm in}:\\ t=\infty

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