Um tanque perfeitamente agitado está parcialmente cheio com uma solução de cloreto de sódio com concentração de
. Uma corrente contendo
de NaCl é bombeada para dentro do tanque a uma vazão de 5 litros por minuto. A mistura é então drenada a mesma taxa. Calcule a concentração de saída após 30 minutos e determine o tempo em que a concentração de saída será igual à concentração de alimentação.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas.
Informações fornecidas:
- A solução inicial no tanque tem concentração
- A corrente de alimentação tem concentração
- Vazão de entrada (igual à de saída)
- O tanque é perfeitamente agitado (mistura instantânea) e a vazão de entrada é igual à de saída, logo o volume do tanque é constante; chamo esse volume constante de
O enunciado pede:
- Calcular a concentração de saída após 30 minutos.
- Determinar o tempo em que a concentração de saída será igual à concentração da alimentação.
Observação importante (informação ausente): o valor numérico do volume do tanque
não foi fornecido no enunciado. Esse parâmetro aparece naturalmente na equação que descreve a evolução da concentração. Portanto a resposta para a primeira pergunta só pode ser dada em função de
, a menos que se forneça um valor numérico para
. A segunda pergunta tem uma resposta qualitativa importante (ver passos adiante).
Passo 2
Modelagem física e definição das variáveis (explicando devagar e com exemplos):
- Chamo de
a concentração de NaCl no tanque no instante (em ). - A massa total de NaCl no tanque em
é (pois massa = concentração × volume, e o volume é constante). Aqui é o volume do tanque em . - A taxa de variação da massa de NaCl no tanque é dada por: taxa que entra menos taxa que sai. Em palavras: “o que entra por minuto menos o que sai por minuto”.
Agora escrevemos isso em fórmula (cada termo explicado):
- Taxa de entrada de massa (g/min) = vazão × concentração de entrada =
Aqui tem unidades e tem , logo o produto tem . - Taxa de saída de massa (g/min) = vazão × concentração no tanque =
Portanto o balanço de massa é
Como
e
é constante, temos
Substituindo:
Dividindo por
(notar que isso é seguro porque
):
Comentário sobre o sinal: se
a taxa é negativa (concentração cai); se
a taxa é positiva (concentração sobe). Faz sentido físico.
Passo 3
Resolução da equação diferencial (método e interpretação):
A equação obtida é uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea não-homogênea com coeficientes constantes. Escrevemos na forma padrão:
A equação obtida é uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea não-homogênea com coeficientes constantes. Escrevemos na forma padrão:
Uma forma rápida e intuitiva de ver a solução: a concentração no tanque tende exponencialmente para
com constante de decaimento
. Para ser formal, use o fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
e integrando obtemos
Integramos ambos os lados de
a
. Com a condição inicial
chega-se à solução
Explicando cada termo:
-
é o valor de equilíbrio (quando a exponencial vai a zero e ). -
é a diferença inicial em relação ao equilíbrio; essa diferença decai exponencialmente com constante de tempo (unidade: minutos). - A expressão é muito usada em tanques agitados: concentração do tanque é uma exponencial que se aproxima da concentração de alimentação.
Passo 4
Aplicando aos dados numéricos (em função de
):
Substituindo ,
e
na solução:
Substituindo
Portanto, a concentração de saída (igual à concentração no tanque, porque a mistura é perfeita) no tempo
é
Reforçando: sem um valor numérico para
não dá para avaliar o exponencial numericamente; a expressão acima é a resposta correta em função de
.
Exemplo ilustrativo (opcional, para intuição): se o volume do tanque fosse, por exemplo,
então
e
Isto é só um exemplo numérico para ver a ordem de grandeza; o enunciado original não deu
, então a resposta geral em função de
é a correta.
Passo 5
Determinar o tempo em que a concentração de saída será igual à concentração de alimentação:
Queremos . Usando a solução,
Queremos
Subtraindo
de ambos os lados dá
No nosso caso
A exponencial
nunca é exatamente zero para nenhum
finito. Portanto não existe tempo finito em que
seja exatamente igual a
; a concentração apenas se aproxima assintoticamente de
quando
.
Interpretação prática: na prática pode-se atingir arbitrariamente perto de
em tempo finito (por exemplo ficar dentro de uma tolerância
encontrará um tempo finito), mas a igualdade exata só ocorre no limite
.