Verdadeiro ou Falso. Justifique.
Se o plano
contém uma reta
que é paralela ao eixo
, entāo
.
Se o plano
Passo 1
O enunciado dá um plano
com equação
e diz que
contém uma reta
que é paralela ao eixo
. A pergunta é: a afirmação "então
" é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação do plano é
. - A reta
está contida no plano . - A reta
é paralela ao eixo (isto é, tem direção vertical ).
O que se pede: decidir Verdadeiro ou Falso e justificar rigorosamente.
Passo 2
Entender o significado dos coeficientes do plano. A normal do plano
é o vetor
Isso vem porque a equação
pode ser escrita como
onde
é o produto escalar. Geometricamente,
é um vetor perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano.
Passo 3
Descrever a reta
paralela ao eixo
. Uma reta paralela ao eixo
tem direção
e pode ser parametrizada por
onde
e
são constantes que fixam a posição da reta no plano
. O vetor diretor dessa reta é
Passo 4
Condición necessária para que a reta esteja contida no plano. Se
está contida em
, então todo ponto
da reta satisfaz a equação do plano para todo
. Substituindo na equação do plano:
Isto é uma igualdade que deve valer para todo
. A única forma de uma expressão linear em
ser zero para todos os valores de
é que o coeficiente de
seja zero e o termo constante também seja zero. Então necessariamente
e simultaneamente
(esta última garante que a reta específica realmente esteja no plano, mas não é necessária para a conclusão sobre
).
Uma forma alternativa e intuitiva de ver isso: como o vetor diretor
pertence ao plano, ele é ortogonal ao vetor normal
. Logo o produto escalar deve zerar:
Passo 5
Interpretação geométrica e conclusão. Geometricamente, ter uma reta paralela ao eixo
dentro do plano significa que a direção
está contida no plano, então o normal do plano é perpendicular a
. Isso força a componente
do normal a ser zero, isto é,
. Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro.