Verdadeiro ou Falso. Justifique.
Se o plano \pi: a x+b y+c z+d=0 contém uma reta r que é paralela ao eixo \mathcal{O}_{y}, entāo b=0.

Passo 1

O enunciado dá um plano \pi com equação a x+b y+c z+d=0 e diz que \pi contém uma reta r que é paralela ao eixo \mathcal{O}_{y}. A pergunta é: a afirmação "então b=0" é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação do plano é a x+b y+c z+d=0.
  • A reta r está contida no plano \pi.
  • A reta r é paralela ao eixo \mathcal{O}_{y} (isto é, tem direção vertical (0,1,0)).
    O que se pede: decidir Verdadeiro ou Falso e justificar rigorosamente.

Passo 2

Entender o significado dos coeficientes do plano. A normal do plano \pi é o vetor
\mathbf{n}=(a,b,c).
Isso vem porque a equação a x+b y+c z+d=0 pode ser escrita como
\mathbf{n}\cdot (x,y,z) + d = 0,
onde \mathbf{n}\cdot(x,y,z)=a x+b y+c z é o produto escalar. Geometricamente, \mathbf{n} é um vetor perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano.

Passo 3

Descrever a reta r paralela ao eixo \mathcal{O}_{y}. Uma reta paralela ao eixo y tem direção (0,1,0) e pode ser parametrizada por
r:\quad (x,y,z)=(x_0,t,z_0),\qquad t\in\mathbb{R},
onde x_0 e z_0 são constantes que fixam a posição da reta no plano xz. O vetor diretor dessa reta é
\mathbf{v}=(0,1,0).

Passo 4

Condición necessária para que a reta esteja contida no plano. Se r está contida em \pi, então todo ponto (x_0,t,z_0) da reta satisfaz a equação do plano para todo t. Substituindo na equação do plano:
a x_0 + b t + c z_0 + d = 0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Isto é uma igualdade que deve valer para todo t. A única forma de uma expressão linear em t ser zero para todos os valores de t é que o coeficiente de t seja zero e o termo constante também seja zero. Então necessariamente
b=0
e simultaneamente
a x_0 + c z_0 + d = 0
(esta última garante que a reta específica realmente esteja no plano, mas não é necessária para a conclusão sobre b).
Uma forma alternativa e intuitiva de ver isso: como o vetor diretor \mathbf{v}=(0,1,0) pertence ao plano, ele é ortogonal ao vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c). Logo o produto escalar deve zerar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=a\cdot 0 + b\cdot 1 + c\cdot 0 = b = 0.

Passo 5

Interpretação geométrica e conclusão. Geometricamente, ter uma reta paralela ao eixo y dentro do plano significa que a direção (0,1,0) está contida no plano, então o normal do plano é perpendicular a (0,1,0). Isso força a componente y do normal a ser zero, isto é, b=0. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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