Verdadeiro ou falso? Justifique.
a) Qualquer matriz
é diagonalizável.
b) Se uma matriz
é diagonalizável por uma matriz ortogonal, (isto é existem
e
com
e
diagonal, tais que
), então
é uma matriz simétrica.
a) Qualquer matriz
b) Se uma matriz
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pergunta (a): “Qualquer matriz
é diagonalizável?” — pede verdadeiro ou falso e justificativa. - Pergunta (b): “Se uma matriz
é diagonalizável por uma matriz ortogonal (ou seja existem e com e diagonal, tais que ), então é uma matriz simétrica?” — pede verdadeiro ou falso e justificativa.
Informações dadas ou implícitas:
- As matrizes são reais (uso de ortogonal/transpose sugere isso).
- Em (b) temos a hipótese de existência de
ortogonal ( ) e diagonal tais que .
Passo 2
Entender bem o que significa “diagonalizável” (a teoria que vou usar).
- Definição: uma matriz
é diagonalizável se existem uma matriz invertível e uma matriz diagonal tais que
Explicando as letras:
é a matriz dada;
é a matriz cujas colunas podem ser escolhidas como vetores próprios (autovetores) de
;
é a matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores correspondentes.
-
Interpretação prática: diagonalizar é escolher uma base de
formada por autovetores de . Se isso for possível, a transformação linear representada por fica representada por uma matriz diagonal na base desses autovetores. -
Conceitos importantes que aparecem sempre:
- Autovalor
: solução de . - Multiplicidade algébrica de
: a multiplicidade de como raiz do polinômio característico. - Espaço próprio (eigenspace) associado a
: . - Multiplicidade geométrica de
: dimensão do espaço próprio .
- Autovalor
Fato útil:
é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor
a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, e somando as multiplicidades geométricas obtém-se
(ou seja, há
vetores próprios linearmente independentes que formam uma base).
Passo 3
Resolver (a): apresentar um contraexemplo concreto para mostrar que a afirmação “qualquer matriz [A_{n\times n}) é diagonalizável” é falsa.
Escolho a matriz real
Vou mostrar que
não é diagonalizável.
- Calcular o polinômio característico:
Logo o único autovalor é
, com multiplicidade algébrica igual a
.
- Calcular o espaço próprio
:
Procuramos vetores
tais que
. Isso dá o sistema
Da primeira equação vem
. Assim os vetores próprios são os de forma
, isto é, o espaço próprio é gerado por
e tem dimensão
.
- Comparação de multiplicidades:
- Multiplicidade algébrica de
é . - Multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é
.
Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, não há
vetores próprios linearmente independentes; portanto não existe matriz invertível
que diagonalize
. Conclusão: a matriz
NÃO é diagonalizável.
Comentário didático amistoso: é comum — e perigoso — confundir “autovalor repetido” com “garantia de diagonalização”. A reapetição do autovalor só garante diagonalização quando existem autovetores suficientes (geometricamente independentes). O exemplo acima é justamente o caso clássico (uma Jordan block) que não é diagonalizável.]
Passo 4
Complemento didático para (a): exemplos contrastantes.
- Exemplo de matriz com autovalor repetido que É diagonalizável: a matriz identidade
. O autovalor tem multiplicidade algébrica e o espaço próprio tem dimensão , logo é diagonalizável. - Portanto, ter autovalor repetido não determina por si só: às vezes diagonalizável, às vezes não. Isso confirma que a afirmação “qualquer matriz é diagonalizável” é falsa.
Passo 5
Resolver (b): partir da hipótese e deduzir simetria.
Hipótese: existem
e
tais que
é ortogonal (
) e
é diagonal, com
Queremos verificar se
é simétrica, ou seja, se
.
Usar propriedades do transposto:
- Para quaisquer matrizes
e compatíveis, . - Se
é ortogonal então e . - Se
é diagonal então (o transposto de uma matriz diagonal é ela mesma).
Aplicando o transposto a
:
Como
, isto dá
Portanto
é simétrica.
Comentário didático amigável: a igualdade veio direto da propriedade de que transpor inverte a ordem e da invariância de uma matriz diagonal sob transposição. A ortogonalidade de
foi usada apenas para interpretar a hipótese (mas a simetria não precisa de
ser ortogonal além do fato de que
aparece no lugar de
). O argumento é curto e direto: a transposta reproduz a mesma expressão, logo
.
Passo 6
Breve discussão adicional (motivacional e útil para prova):
- Resultado (b) mostra que qualquer matriz que seja diagonalizável por uma matriz ortogonal é necessariamente simétrica. A recíproca também é verdadeira para matrizes reais: todo matriz simétrica real é diagonalizável por uma matriz ortogonal (teorema espectral). Esse é um bom fato para decorar: “matrizes reais simétricas ↔ diagonalizáveis ortogonalmente”.
- Para a prova da parte (a) na prova, basta lembrar do exemplo canônico de Jordan block, como eu dei, para refutar a afirmação. Em exame, apresentar uma matriz
com autovalor repetido e espaço próprio de dimensão é a maneira mais rápida de justificar o “Falso”.
Resposta
a) Falso
b) Verdadeiro