Verdadeiro ou falso? Justifique.
a) Qualquer matriz A_{n \times n} é diagonalizável.
b) Se uma matriz A é diagonalizável por uma matriz ortogonal, (isto é existem P e D com P^{-1}=P^{T} e D diagonal, tais que A=P D P^{T} ), então A é uma matriz simétrica.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pergunta (a): “Qualquer matriz A_{n\times n} é diagonalizável?” — pede verdadeiro ou falso e justificativa.
  • Pergunta (b): “Se uma matriz A é diagonalizável por uma matriz ortogonal (ou seja existem P e D com P^{-1}=P^{T} e D diagonal, tais que A=PDP^{T}), então A é uma matriz simétrica?” — pede verdadeiro ou falso e justificativa.
Informações dadas ou implícitas:
  • As matrizes são reais (uso de ortogonal/transpose sugere isso).
  • Em (b) temos a hipótese de existência de P ortogonal ( P^{-1}=P^{T}) e D diagonal tais que A = P D P^{T}.

Passo 2

Entender bem o que significa “diagonalizável” (a teoria que vou usar).
  • Definição: uma matriz A_{n\times n} é diagonalizável se existem uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P D P^{-1}.
Explicando as letras: A é a matriz dada; P é a matriz cujas colunas podem ser escolhidas como vetores próprios (autovetores) de A; D é a matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores correspondentes.
  • Interpretação prática: diagonalizar é escolher uma base de \mathbb{R}^n formada por autovetores de A. Se isso for possível, a transformação linear representada por A fica representada por uma matriz diagonal na base desses autovetores.
  • Conceitos importantes que aparecem sempre:
    • Autovalor \lambda: solução de \det(A-\lambda I)=0.
    • Multiplicidade algébrica de \lambda: a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico.
    • Espaço próprio (eigenspace) associado a \lambda: \ker(A-\lambda I).
    • Multiplicidade geométrica de \lambda: dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I).
Fato útil: A é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor \lambda a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, e somando as multiplicidades geométricas obtém-se n (ou seja, há n vetores próprios linearmente independentes que formam uma base).

Passo 3

Resolver (a): apresentar um contraexemplo concreto para mostrar que a afirmação “qualquer matriz [A_{n\times n}) é diagonalizável” é falsa.
Escolho a matriz real 2\times2
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Vou mostrar que A não é diagonalizável.
  1. Calcular o polinômio característico:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt] 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=1, com multiplicidade algébrica igual a 2.
  1. Calcular o espaço próprio \ker(A-I):
A-I=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Procuramos vetores v=(x,y)^T tais que (A-I)v=0. Isso dá o sistema
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=0\]. Não há restrição sobre \(x. Assim os vetores próprios são os de forma (x,0)^T, isto é, o espaço próprio é gerado por \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} e tem dimensão 1.
  1. Comparação de multiplicidades:
  • Multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 2.
  • Multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1.
Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, não há 2 vetores próprios linearmente independentes; portanto não existe matriz invertível P que diagonalize A. Conclusão: a matriz A NÃO é diagonalizável.
Comentário didático amistoso: é comum — e perigoso — confundir “autovalor repetido” com “garantia de diagonalização”. A reapetição do autovalor só garante diagonalização quando existem autovetores suficientes (geometricamente independentes). O exemplo acima é justamente o caso clássico (uma Jordan block) que não é diagonalizável.]

Passo 4

Complemento didático para (a): exemplos contrastantes.
  • Exemplo de matriz com autovalor repetido que É diagonalizável: a matriz identidade I_n. O autovalor \lambda=1 tem multiplicidade algébrica n e o espaço próprio tem dimensão n, logo é diagonalizável.
  • Portanto, ter autovalor repetido não determina por si só: às vezes diagonalizável, às vezes não. Isso confirma que a afirmação “qualquer matriz é diagonalizável” é falsa.

Passo 5

Resolver (b): partir da hipótese e deduzir simetria.
Hipótese: existem P e D tais que P é ortogonal ( P^{-1}=P^{T}) e D é diagonal, com
A = P D P^{T}.
Queremos verificar se A é simétrica, ou seja, se A^{T}=A.
Usar propriedades do transposto:
  • Para quaisquer matrizes X e Y compatíveis, (XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
  • Se P é ortogonal então (P^{T})^{T}=P e P^{-1}=P^{T}.
  • Se D é diagonal então D^{T}=D (o transposto de uma matriz diagonal é ela mesma).
Aplicando o transposto a A:
A^{T} = (P D P^{T})^{T} = (P^{T})^{T} D^{T} P^{T} = P D^{T} P^{T}.
Como D^{T}=D, isto dá
A^{T} = P D P^{T} = A.
Portanto A é simétrica.
Comentário didático amigável: a igualdade veio direto da propriedade de que transpor inverte a ordem e da invariância de uma matriz diagonal sob transposição. A ortogonalidade de P foi usada apenas para interpretar a hipótese (mas a simetria não precisa de P ser ortogonal além do fato de que P^{T} aparece no lugar de P^{-1}). O argumento é curto e direto: a transposta reproduz a mesma expressão, logo A=A^{T}.

Passo 6

Breve discussão adicional (motivacional e útil para prova):
  • Resultado (b) mostra que qualquer matriz que seja diagonalizável por uma matriz ortogonal é necessariamente simétrica. A recíproca também é verdadeira para matrizes reais: todo matriz simétrica real é diagonalizável por uma matriz ortogonal (teorema espectral). Esse é um bom fato para decorar: “matrizes reais simétricas ↔ diagonalizáveis ortogonalmente”.
  • Para a prova da parte (a) na prova, basta lembrar do exemplo canônico de Jordan block, como eu dei, para refutar a afirmação. Em exame, apresentar uma matriz 2\times2 com autovalor repetido e espaço próprio de dimensão 1 é a maneira mais rápida de justificar o “Falso”.

Resposta

a) Falso
b) Verdadeiro

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