Seja a reta r : \frac{x+2}{5}=\frac{-y+3}{7}=z-4. Temos que o vetor diretor \vec{r} e o ponto P utilizados para obter essa equação foram:
Escolha uma opção:
a. \vec{r}=(5,7,-1) e o ponto P=(2,-3,4)
b. \vec{r}=(5,-7,1) e o ponto P=(2,3,-4)
c. \vec{r}=(0,-7,-1) e o ponto P=(2,-3,4)
d. \vec{r}=(5,-7,1) e o ponto P=(-2,3,4)
e. \vec{r}=(-6,7,-1) e o ponto P=(-2,3,4)

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r na forma
\frac{x+2}{5}=\frac{-y+3}{7}=z-4.
O que é pedido: identificar o vetor diretor \vec{r} e o ponto P que geraram essa equação (ou seja, a partir dos quais a reta foi escrita). Informação relevante: a reta está na forma simétrica com três expressões iguais.

Passo 2

Regra geral (explicação didática): se uma reta está escrita na forma
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
então podemos igualar tudo a um parâmetro t e obter a forma paramétrica
x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,\qquad z=z_0+ct.
Nessa representação, P=(x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta (obtido quando t=0) e \vec{r}=(a,b,c) é o vetor diretor (os coeficientes de t).

Passo 3

Aplicando isso ao caso dado, igualamos as três frações a um parâmetro t:
t=\frac{x+2}{5}=\frac{-y+3}{7}=z-4.
Agora resolvemos cada igualdade para x,y,z em função de t.

Passo 4

Da primeira igualdade:
t=\frac{x+2}{5}\quad\Rightarrow\quad x+2=5t\quad\Rightarrow\quad x=-2+5t.

Passo 5

Da segunda igualdade:
t=\frac{-y+3}{7}\quad\Rightarrow\quad -y+3=7t\quad\Rightarrow\quad -y=7t-3\quad\Rightarrow\quad y=3-7t.
Observação didática: atenção ao sinal em -y+3. Reorganizar a equação é só álgebra comum; o coeficiente de t em y fica -7, portanto o termo linear em t para y é -7t.

Passo 6

Da terceira igualdade:
t=z-4\quad\Rightarrow\quad z=4+t.

Passo 7

Agora temos a forma paramétrica completa:
x=-2+5t,\qquad y=3-7t,\qquad z=4+t.
Comparando com x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct, obtemos:
  • ponto P=(x_0,y_0,z_0)=(-2,\,3,\,4) (pegamos esses valores fazendo t=0);
  • vetor diretor \vec{r}=(a,b,c)=(5,\,-7,\,1) (são os coeficientes de t nas três coordenadas).

Passo 8

Verificando as opções dadas, a que corresponde a \vec{r}=(5,-7,1) e P=(-2,3,4) é a opção d.

Resposta

d. \vec{r}=(5,-7,1) e P=(-2,3,4)

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