Seja o triângulo de vértices A=(4,5,-4), B=(-6,-7,0) e C=(8,5,6). As equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado A B e pelo vértice C são dadas por:
Escolha uma opçāo:
◯ a. \left\{\begin{aligned} x & =4-8 t \\\ y & =3-8 t \\\ z & =-1+3 t\end{aligned}\right.
◯ b. \left\{\begin{aligned} x & =-1+7 t \\\ y & =-1+4 t \\\ z & =-2+6 t\end{aligned}\right.
◯ c. \left\{\begin{aligned} & x=6-12 t \\\ & \begin{array}{l}y \\\ =5-12 t \\\ z \\\ =1-t\end{array}\end{aligned}\right.
◯ d. \left\{\begin{aligned} x & =-1+9 t \\\ & y=-1+6 t \\\ z & =-2+8 t\end{aligned}\right.
◯ e. \left\{\begin{aligned} x & =1+3 t \\\ y & =-1+6 t \\\ z & =3-7 t\end{aligned}\right.
◯ f. \left\{\begin{aligned} x & =1+t \\\ y & =-1+4 t\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo: A=(4,5,-4), B=(-6,-7,0) e C=(8,5,6).
Pede-se as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do segmento AB e pelo vértice C.
Informações relevantes:
  • Coordenadas de A: (4,5,-4).
  • Coordenadas de B: (-6,-7,0).
  • Coordenadas de C: (8,5,6).
  • É preciso encontrar o ponto médio de AB e então a reta que passa por esse ponto e por C.

Passo 2

Calcular o ponto médio M de A e B. A fórmula do ponto médio entre dois pontos (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) é
M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\\ \dfrac{y_1+y_2}{2},\\ \dfrac{z_1+z_2}{2}\right).
Aplicando a fórmula a A=(4,5,-4) e B=(-6,-7,0):
M=\left(\dfrac{4+(-6)}{2},\\ \dfrac{5+(-7)}{2},\\ \dfrac{-4+0}{2}\right) =\left(\dfrac{-2}{2},\\ \dfrac{-2}{2},\\ \dfrac{-4}{2}\right) =(-1,-1,-2).

Passo 3

Obter um vetor diretor da reta que liga M a C. Para isso subtrai-se as coordenadas:
\vec{v}=C-M=(8-(-1),\\\ 5-(-1),\\\ 6-(-2))=(9,6,8).
Explicação rápida: \vec{v} aponta de M para C e qualquer múltiplo não nulo de \vec{v} serve como diretor da reta.

Passo 4

Escrever as equações paramétricas da reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) com vetor diretor \vec{v}=(a,b,c). A forma paramétrica é
x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,\qquad z=z_0+ct,
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aqui P=M=(-1,-1,-2) e \vec{v}=(9,6,8). Substituindo:
x=-1+9t,\qquad y=-1+6t,\qquad z=-2+8t.
Verificação curta: para t=0 obtém-se M e para t=1 obtém-se C, pois
(-1+9\cdot 1,\\\ -1+6\cdot 1,\\\ -2+8\cdot 1)=(8,5,6)=C.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, a alternativa que coincide com
x=-1+9t,\qquad y=-1+6t,\qquad z=-2+8t
é a alternativa (d).

Resposta

d. \left\{\begin{aligned} x & =-1+9 t \\\ y & =-1+6 t \\\ z & =-2+8 t\end{aligned}\right.

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