Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta.
O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou 3 k+1 ; k \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado afirma: "O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3k ou 3k+1, k\in\mathbb{Z}". A pergunta é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. O dado que temos é simplesmente “qualquer inteiro” — ou seja, vale para todo n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Uma ferramenta simples e poderosa aqui é o algoritmo da divisão por 3: qualquer inteiro n pode ser escrito de uma destas três formas, para algum q\in\mathbb{Z}:
n=3q,\qquad n=3q+1,\qquad n=3q+2.
Isto corresponde à ideia de dividir n por 3 e obter resto 0, 1 ou 2. Essa separação em três restos é exaustiva: todo inteiro cai exatamente numa dessas três classes.

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece com o quadrado em cada uma das três possibilidades. Primeiro caso: n=3q. Então
n^2=(3q)^2=9q^2=3\bigl(3q^2\bigr).
Portanto n^2 é da forma 3k com k=3q^2\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Segundo caso: n=3q+1. Calculando o quadrado,
n^2=(3q+1)^2=9q^2+6q+1=3\bigl(3q^2+2q\bigr)+1.
Logo n^2 é da forma 3k+1 com k=3q^2+2q\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Terceiro caso: n=3q+2. Calculando o quadrado,
n^2=(3q+2)^2=9q^2+12q+4.
Escrevendo 4=3+1 obtemos
n^2=9q^2+12q+3+1=3\bigl(3q^2+4q+1\bigr)+1.
Portanto também neste caso n^2 é da forma 3k+1 com k=3q^2+4q+1\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Resumo das três possibilidades: para todo n\in\mathbb{Z} o quadrado n^2 é ou da forma 3k (quando n é múltiplo de 3) ou da forma 3k+1 (quando n deixa resto 1 ou 2 ao dividir por 3). Assim a afirmação do enunciado é verdadeira. Para fixar a ideia, exemplos rápidos: 0^2=0 (da forma 3k), 1^2=1 (da forma 3k+1), 2^2=4=3\cdot1+1, 3^2=9=3\cdot3, 4^2=16=3\cdot5+1.

Resposta

Verdadeiro

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