Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta.
O quadrado de qualquer inteiro é da forma
ou
.
O quadrado de qualquer inteiro é da forma
Passo 1
O enunciado afirma: "O quadrado de qualquer inteiro é da forma
ou
,
". A pergunta é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. O dado que temos é simplesmente “qualquer inteiro” — ou seja, vale para todo
.
Passo 2
Uma ferramenta simples e poderosa aqui é o algoritmo da divisão por
: qualquer inteiro
pode ser escrito de uma destas três formas, para algum
:
Isto corresponde à ideia de dividir
por
e obter resto
,
ou
. Essa separação em três restos é exaustiva: todo inteiro cai exatamente numa dessas três classes.
Passo 3
Agora vamos ver o que acontece com o quadrado em cada uma das três possibilidades. Primeiro caso:
. Então
Portanto
é da forma
com
.
Passo 4
Segundo caso:
. Calculando o quadrado,
Logo
é da forma
com
.
Passo 5
Terceiro caso:
. Calculando o quadrado,
Escrevendo
obtemos
Portanto também neste caso
é da forma
com
.
Passo 6
Resumo das três possibilidades: para todo
o quadrado
é ou da forma
(quando
é múltiplo de
) ou da forma
(quando
deixa resto
ou
ao dividir por
). Assim a afirmação do enunciado é verdadeira. Para fixar a ideia, exemplos rápidos:
(da forma
),
(da forma
),
,
,
.
Resposta
Verdadeiro