Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta.
A diferença entre dois cubos consecutivos (por exemplo
) nunca é par.
A diferença entre dois cubos consecutivos (por exemplo
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “a diferença entre dois cubos consecutivos (por exemplo
nunca é par” é verdadeira ou falsa. Ou seja:
- Precisamos decidir se, para quaisquer inteiros consecutivos
e , o número pode ser par ou sempre é ímpar. - Informação dada: exemplo
(que é um caso particular de cubos de inteiros consecutivos).
Passo 2
Vou escrever a diferença geral entre dois cubos consecutivos usando um inteiro genérico
. Isso transforma o problema em estudar o valor de
onde
é um inteiro (por exemplo
dá o exemplo do enunciado).
Passo 3
Expandir a diferença para obter uma forma mais manejável. Usando a expansão do cubo:
Subtraindo da forma original:
Agora simplifico os termos semelhantes:
Passo 4
Fatoro a expressão obtida para evidenciar a paridade:
Explico o que cada coisa significa:
é o produto de dois inteiros consecutivos.
Passo 5
Análise da paridade (definições básicas):
- Um inteiro é par se é múltiplo de
; é ímpar caso contrário. - Entre dois inteiros consecutivos
e , um deles é necessariamente par. Portanto o produto é par (produto que envolve um fator par é par). - Se
é par, então também é par (multiplicar um número par por qualquer inteiro preserva a paridade — continua par). - Finalmente, um número par mais
é sempre ímpar. Assim é ímpar.
Portanto, para qualquer inteiro
, a diferença
é ímpar, isto é, nunca é par.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar: para
,
e pela fórmula
obtemos
, que é ímpar — confirma o raciocínio.
Resposta
Verdadeiro.