Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta.
A diferença entre dois cubos consecutivos (por exemplo 4^{3}-3^{3} ) nunca é par.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação “a diferença entre dois cubos consecutivos (por exemplo \,4^{3}-3^{3}\,) nunca é par” é verdadeira ou falsa. Ou seja:
  • Precisamos decidir se, para quaisquer inteiros consecutivos n-1 e n, o número \,n^{3}-(n-1)^{3}\, pode ser par ou sempre é ímpar.
  • Informação dada: exemplo \,4^{3}-3^{3}\, (que é um caso particular de cubos de inteiros consecutivos).

Passo 2

Vou escrever a diferença geral entre dois cubos consecutivos usando um inteiro genérico n. Isso transforma o problema em estudar o valor de
n^{3}-(n-1)^{3},
onde n é um inteiro (por exemplo n=4 dá o exemplo do enunciado).

Passo 3

Expandir a diferença para obter uma forma mais manejável. Usando a expansão do cubo:
(n-1)^{3}=n^{3}-3n^{2}+3n-1.
Subtraindo da forma original:
n^{3}-(n-1)^{3}=n^{3}-\bigl(n^{3}-3n^{2}+3n-1\bigr).
Agora simplifico os termos semelhantes:
n^{3}-(n-1)^{3}=3n^{2}-3n+1.

Passo 4

Fatoro a expressão obtida para evidenciar a paridade:
3n^{2}-3n+1=3\bigl(n^{2}-n\bigr)+1=3\bigl(n(n-1)\bigr)+1.
Explico o que cada coisa significa: n(n-1) é o produto de dois inteiros consecutivos.

Passo 5

Análise da paridade (definições básicas):
  • Um inteiro é par se é múltiplo de 2; é ímpar caso contrário.
  • Entre dois inteiros consecutivos n e n-1, um deles é necessariamente par. Portanto o produto n(n-1) é par (produto que envolve um fator par é par).
  • Se n(n-1) é par, então 3\bigl(n(n-1)\bigr) também é par (multiplicar um número par por qualquer inteiro preserva a paridade — continua par).
  • Finalmente, um número par mais 1 é sempre ímpar. Assim 3\bigl(n(n-1)\bigr)+1 é ímpar.
Portanto, para qualquer inteiro n, a diferença n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1 é ímpar, isto é, nunca é par.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar: para n=4,
4^{3}-3^{3}=64-27=37,
e pela fórmula 3n(n-1)+1 obtemos 3\cdot4\cdot3+1=36+1=37, que é ímpar — confirma o raciocínio.

Resposta

Verdadeiro.

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