Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta.
Se a^{2} \mid b^{3} então a \mid b.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa (e pede justificativa):
\text{Se }a^{2}\mid b^{3}\text{ então }a\mid b.ã
Vou trabalhar assumindo que a e b são inteiros positivos (caso usual em questões de divisibilidade). O que o enunciado dá: a informação de que a^{2} divide b^{3}. O que se pede: concluir (ou refutar) que a partir disso segue que a divide b.

Passo 2

Definições e fato fundamental que vamos usar — fatoração prima e expoentes:
  • Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, cada inteiro positivo n escreve-se de forma única como produto de primos:
n=\prod_{p\\ \text{primo}} p^{v_p(n)},
onde v_p(n) é o expoente do primo p em n (também chamado de valuation p-ádica).
  • Propriedade de divisibilidade em termos de expoentes: x\mid y se, e somente se, para todo primo p vale
v_p(x)\le v_p(y).
Vamos traduzir a hipótese a^{2}\mid b^{3} usando essas valuations.

Passo 3

Traduzindo a hipótese em desigualdades de expoentes:
  • Para cada primo p,
v_p(a^{2})\le v_p(b^{3}).
  • Como v_p(a^{2})=2\,v_p(a) e v_p(b^{3})=3\,v_p(b), a condição é equivalente a
2\,v_p(a)\le 3\,v_p(b)\qquad\text{para todo primo }p.
A conclusão desejada a\mid b seria equivalente a
v_p(a)\le v_p(b)\qquad\text{para todo primo }p.
Logo a pergunta é se a desigualdade 2e\le 3f (com e=v_p(a),\\ f=v_p(b)) implica sempre e\le f. Vamos ver se isso é verdade.

Passo 4

Verificação do que as desigualdades permitem — contraexemplo simples:
  • A desigualdade inteira 2e\le 3f não implica necessariamente e\le f. Por exemplo, tome f=2 e e=3. Então
2e=2\cdot 3=6\quad\text{e}\quad 3f=3\cdot 2=6,
logo 2e\le 3f é satisfeita (igualdade), mas e=3>2=f, ou seja e>f.
  • Traduzindo isso em números concretos: escolha um primo qualquer, por exemplo p=2. Defina
a=2^{3}=8,\qquad b=2^{2}=4.
Calcule:
a^{2}=8^{2}=64,\qquad b^{3}=4^{3}=64,
logo a^{2}\mid b^{3} (na verdade são iguais). Mas a\mid b é falso porque 8\nmid 4. Assim temos um contraexemplo que satisfaz a hipótese e refuta a conclusão.

Passo 5

Interpretação final e conclusão didática:
  • O contraexemplo mostra que, mesmo que os expoentes de a sejam controlados pela desigualdade 2v_p(a)\le 3v_p(b), ainda pode acontecer que para algum primo p se tenha v_p(a)>v_p(b), impedindo a\mid b.
  • Em termos intuitivos: a condição a^{2}\mid b^{3} só dá uma relação entre os expoentes multiplicada por fatores 2 e 3; isso permite casos em que os expoentes de a sejam maiores que os de b (mas não tanto para violar 2e\le3f). Portanto a implicação geral não vale.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados