Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa (e pede justificativa):
Vou trabalhar assumindo que
e
são inteiros positivos (caso usual em questões de divisibilidade). O que o enunciado dá: a informação de que
divide
. O que se pede: concluir (ou refutar) que a partir disso segue que
divide
.
Passo 2
Definições e fato fundamental que vamos usar — fatoração prima e expoentes:
- Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, cada inteiro positivo
escreve-se de forma única como produto de primos:
onde
é o expoente do primo
em
(também chamado de valuation
-ádica).
- Propriedade de divisibilidade em termos de expoentes:
se, e somente se, para todo primo vale
Vamos traduzir a hipótese
usando essas valuations.
Passo 3
Traduzindo a hipótese em desigualdades de expoentes:
- Para cada primo
,
- Como
e , a condição é equivalente a
A conclusão desejada
seria equivalente a
Logo a pergunta é se a desigualdade
(com
) implica sempre
. Vamos ver se isso é verdade.
Passo 4
Verificação do que as desigualdades permitem — contraexemplo simples:
- A desigualdade inteira
não implica necessariamente . Por exemplo, tome e . Então
logo
é satisfeita (igualdade), mas
, ou seja
.
- Traduzindo isso em números concretos: escolha um primo qualquer, por exemplo
. Defina
Calcule:
logo
(na verdade são iguais). Mas
é falso porque
. Assim temos um contraexemplo que satisfaz a hipótese e refuta a conclusão.
Passo 5
Interpretação final e conclusão didática:
- O contraexemplo mostra que, mesmo que os expoentes de
sejam controlados pela desigualdade , ainda pode acontecer que para algum primo se tenha , impedindo . - Em termos intuitivos: a condição
só dá uma relação entre os expoentes multiplicada por fatores e ; isso permite casos em que os expoentes de sejam maiores que os de (mas não tanto para violar ). Portanto a implicação geral não vale.
Resposta
Falso.