Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
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Passo 1
Vamos analisar o enunciado: “Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
.”
Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com os conceitos de independência linear (LI) e dependência linear (LD) de conjuntos de vetores. Precisamos entender o que significa cada um desses termos e verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear (LI). Um conjunto de vetores é considerado linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. No caso,
significa que
e
são vetores que não dependem um do outro.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa dependência linear (LD). Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Ou seja, existe uma relação onde um vetor é “dependente” dos demais.
Passo 4
A afirmação nos diz que se
é linearmente independente (LI), então adicionar um terceiro vetor
tornará o conjunto
linearmente dependente (LD). Vamos verificar se isso é sempre verdadeiro.
Passo 5
Pensemos em um exemplo: suponha que
seja uma combinação linear de
e
, ou seja,
, onde
e
são escalares. Nesse caso, o conjunto
seria linearmente dependente, pois
depende de
e
.
Passo 6
No entanto, se
não puder ser escrito como uma combinação linear de
e
, então o conjunto
continuará sendo linearmente independente. Portanto, a afirmação de que
é dependente sempre que
é independente não é necessariamente verdadeira.
Resposta
Falso. A afirmação nem sempre é verdadeira, pois o vetor
pode ou não ser uma combinação linear de
e
.