Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
u, v in LI Rightarrowu, v, w in LD.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: “Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta. u, v in LI Rightarrowu, v, w in LD.”
Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com os conceitos de independência linear (LI) e dependência linear (LD) de conjuntos de vetores. Precisamos entender o que significa cada um desses termos e verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear (LI). Um conjunto de vetores é considerado linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. No caso, u, v in LI significa que u e v são vetores que não dependem um do outro.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa dependência linear (LD). Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Ou seja, existe uma relação onde um vetor é “dependente” dos demais.

Passo 4

A afirmação nos diz que se u, v é linearmente independente (LI), então adicionar um terceiro vetor w tornará o conjunto u, v, w linearmente dependente (LD). Vamos verificar se isso é sempre verdadeiro.

Passo 5

Pensemos em um exemplo: suponha que w seja uma combinação linear de u e v, ou seja, w = au + bv, onde a e b são escalares. Nesse caso, o conjunto u, v, w seria linearmente dependente, pois w depende de u e v.

Passo 6

No entanto, se w não puder ser escrito como uma combinação linear de u e v, então o conjunto u, v, w continuará sendo linearmente independente. Portanto, a afirmação de que u, v, w é dependente sempre que u, v é independente não é necessariamente verdadeira.

Resposta

Falso. A afirmação nem sempre é verdadeira, pois o vetor w pode ou não ser uma combinação linear de u e v.

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