Esboce a curva dada pela equação
. Determine as coordenadas dos vértices e dos focos, e escreva as equações das assíntotas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva da equação
. Para isso, vamos identificar que tipo de cônica é essa, encontrar os vértices, os focos e as assíntotas. Vamos precisar usar conhecimentos de equações de parábolas, elipses ou hipérboles e completar o quadrado para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra facilitar o entendimento. Vamos agrupar os termos de
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
separadamente.
Passo 3
Para o
, temos
. Vamos completar o quadrado:
- Pegue o coeficiente de
, que é 6, divida por 2: . - Eleve ao quadrado:
. - Adicione e subtraia esse valor na equação:
Isso dá
.
Passo 4
Agora, para o
, temos
. Primeiro, vamos fatorar o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
- Coeficiente de
é -2, divida por 2: . - Eleve ao quadrado:
. - Adicione e subtraia dentro do parêntese:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Dividindo ambos os lados por 3 para deixar a equação na forma padrão:
Passo 6
Essa é a equação de uma hipérbole com orientação horizontal. A forma padrão é:
Comparando com nossa equação:
- Centro em
-
então -
então
Passo 7
Para encontrar os vértices, adicionamos e subtraímos
das coordenadas do centro na direção
:
- Vértice 1:
- Vértice 2:
Passo 8
Os focos estão localizados a uma distância
do centro, onde
. Então:
Então, os focos ficam em:
- Foco 1:
- Foco 2:
Passo 9
As assíntotas de uma hipérbole com orientação horizontal são dadas por:
Substituindo os valores:
Podemos racionalizar o denominador:
Resposta
A hipérbole possui:
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas: