Esboce a curva dada pela equação x^2-3 y^2+6 x+6 y+3=0. Determine as coordenadas dos vértices e dos focos, e escreva as equações das assíntotas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva da equação x^2 - 3y^2 + 6x + 6y + 3 = 0. Para isso, vamos identificar que tipo de cônica é essa, encontrar os vértices, os focos e as assíntotas. Vamos precisar usar conhecimentos de equações de parábolas, elipses ou hipérboles e completar o quadrado para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra facilitar o entendimento. Vamos agrupar os termos de x e y:
x^2 + 6x - 3y^2 + 6y + 3 = 0
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e y separadamente.

Passo 3

Para o x, temos x^2 + 6x. Vamos completar o quadrado:
  1. Pegue o coeficiente de x, que é 6, divida por 2: 6/2 = 3.
  2. Eleve ao quadrado: 3^2 = 9.
  3. Adicione e subtraia esse valor na equação:
x^2 + 6x + 9 - 9
Isso dá (x + 3)^2 - 9.

Passo 4

Agora, para o y, temos -3y^2 + 6y. Primeiro, vamos fatorar o coeficiente de y^2:
-3(y^2 - 2y)
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
  1. Coeficiente de y é -2, divida por 2: -2/2 = -1.
  2. Eleve ao quadrado: (-1)^2 = 1.
  3. Adicione e subtraia dentro do parêntese:
-3(y^2 - 2y + 1 - 1) = -3[(y - 1)^2 - 1] = -3(y - 1)^2 + 3

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
(x + 3)^2 - 9 - 3(y - 1)^2 + 3 + 3 = 0
Simplificando os termos constantes:
(x + 3)^2 - 3(y - 1)^2 - 3 = 0
(x + 3)^2 - 3(y - 1)^2 = 3
Dividindo ambos os lados por 3 para deixar a equação na forma padrão:
(x + 3)^23 - (y - 1)^21 = 1

Passo 6

Essa é a equação de uma hipérbole com orientação horizontal. A forma padrão é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com nossa equação:
  • Centro em (h, k) = (-3, 1)
  • a^2 = 3 então a = raiz3
  • b^2 = 1 então b = 1

Passo 7

Para encontrar os vértices, adicionamos e subtraímos a das coordenadas do centro na direção x:
  • Vértice 1: (-3 + raiz3, 1)
  • Vértice 2: (-3 - raiz3, 1)

Passo 8

Os focos estão localizados a uma distância c do centro, onde c^2 = a^2 + b^2. Então:
c^2 = 3 + 1 = 4 Rightarrow c = 2
Então, os focos ficam em:
  • Foco 1: (-3 + 2, 1) = (-1, 1)
  • Foco 2: (-3 - 2, 1) = (-5, 1)

Passo 9

As assíntotas de uma hipérbole com orientação horizontal são dadas por:
y - k = pm ba(x - h)
Substituindo os valores:
y - 1 = pm 1raiz3(x + 3)
Podemos racionalizar o denominador:
y - 1 = pm raiz33(x + 3)

Resposta

A hipérbole possui:
  • Vértices: (-3 + raiz3, 1) e (-3 - raiz3, 1)
  • Focos: (-1, 1) e (-5, 1)
  • Assíntotas: y - 1 = raiz33(x + 3) y - 1 = -raiz33(x + 3)

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