Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Estamos trabalhando com o conceito de independência linear em álgebra linear. A afirmação a ser avaliada é: “Se o conjunto
é linearmente independente (LI), então o conjunto
também é linearmente independente”. Para resolver, precisamos conhecer o que significa um conjunto ser linearmente independente e como isso se relaciona com subconjuntos.
Passo 2
Primeiro, independência linear significa que nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores do conjunto. Ou seja, para um conjunto de vetores
, eles são linearmente independentes se a equação
só tem a solução trivial
.
Passo 3
Agora, se o conjunto
é linearmente independente, isso implica que nenhum dos vetores
,
, ou
pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Logo, especificamente, isso significa que
também não tem essa propriedade onde um vetor é combinação linear do outro, já que
e
são parte de um conjunto maior que é independente.
Passo 4
Portanto, se
é linearmente independente, então qualquer subconjunto dele, como
, também deve ser linearmente independente. Isso ocorre porque a independência linear se preserva ao considerar subconjuntos.
Resposta
Verdadeiro. Se o conjunto
é linearmente independente, então o subconjunto
também é linearmente independente.