Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
u, v, w in LI Rightarrowu, v in LI.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Estamos trabalhando com o conceito de independência linear em álgebra linear. A afirmação a ser avaliada é: “Se o conjunto u, v, w é linearmente independente (LI), então o conjunto u, v também é linearmente independente”. Para resolver, precisamos conhecer o que significa um conjunto ser linearmente independente e como isso se relaciona com subconjuntos.

Passo 2

Primeiro, independência linear significa que nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores do conjunto. Ou seja, para um conjunto de vetores v1, v2, ldots, vn, eles são linearmente independentes se a equação c1 v1 + c2 v2 + ldots + cn vn = 0 só tem a solução trivial c1 = c2 = ldots = cn = 0.

Passo 3

Agora, se o conjunto u, v, w é linearmente independente, isso implica que nenhum dos vetores u, v, ou w pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Logo, especificamente, isso significa que u, v também não tem essa propriedade onde um vetor é combinação linear do outro, já que u e v são parte de um conjunto maior que é independente.

Passo 4

Portanto, se u, v, w é linearmente independente, então qualquer subconjunto dele, como u, v, também deve ser linearmente independente. Isso ocorre porque a independência linear se preserva ao considerar subconjuntos.

Resposta

Verdadeiro. Se o conjunto u, v, w é linearmente independente, então o subconjunto u, v também é linearmente independente.

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