Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
Se \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} não são nulos, então ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é LD ⇒ ( 2 \vec{u},-\vec{v} ) é LD.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • As vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são não nulos.
  • Sabe-se que (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente dependente (LD).
    A pergunta: a partir disso, podemos concluir que (2\vec{u},-\vec{v}) é LD? Deve-se responder verdadeiro ou falso e justificar.

Passo 2

Definição e critério úteis (explicados devagarinho):
  • Uma família de vetores é linearmente dependente se existem escalares, nem todos zero, que combinados linearmente dão o vetor nulo. Ou seja, (\vec{x}_1,\dots,\vec{x}_k) é LD se existem \lambda_1,\dots,\lambda_k, não todos zero, tais que
\lambda_1\vec{x}_1+\cdots+\lambda_k\vec{x}_k=\vec{0}.
  • Para duas vetores, há um critério simples e muito usado: dois vetores \vec{a} e \vec{b} são LD se, e só se, um é múltiplo escalar do outro (ou um deles é o vetor nulo). Em símbolos: (\vec{a},\vec{b}) é LD \Leftrightarrow existe \mu com \vec{a}=\mu\vec{b} (ou \vec{a}=\vec{0} ou \vec{b}=\vec{0}).
    Explicação curta do porquê: se \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}=\vec{0} com algum dos \alpha,\beta não zero, por exemplo \beta\neq0, então \vec{b}=-(\alpha/\beta)\vec{a}, logo é múltiplo. O outro caso é análogo.

Passo 3

O que significa (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) ser LD e por que isso não garante que \vec{u} e \vec{v} sejam múltiplos:
  • Ser LD significa que existem escalares a,b,c, nem todos zero, tais que
a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}.
  • Se c\neq0 podemos escrever
\vec{w}=-\frac{a}{c}\vec{u}-\frac{b}{c}\vec{v},
isto é, \vec{w} está no espaço gerado por \vec{u} e \vec{v}. Mas isso apenas diz que \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}; não impõe que \vec{u} seja combinação de \vec{v} (ou vice-versa). Em outras palavras, a dependência pode vir do fato de que o terceiro vetor está dentro do plano gerado pelos dois primeiros, sem que os dois primeiros sejam colineares entre si.

Passo 4

Construção de um contraexemplo explícito (a melhor forma de provar que a afirmação é falsa):
  • Trabalhe em \mathbb{R}^3. Tome
\vec{u}=(1,0,0),\qquad \vec{v}=(0,1,0),\qquad \vec{w}=(1,1,0).
Observações: todos são não nulos (ok).
  • Verifique que (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é LD: note que
1\cdot\vec{u}+1\cdot\vec{v}+(-1)\cdot\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}=(1,0,0)+(0,1,0)-(1,1,0)=\vec{0},
logo existem coeficientes não todos nulos que anulam a combinação — a tripla é LD.
  • Agora examine o par (2\vec{u},-\vec{v}). Calculando:
2\vec{u}=(2,0,0),\qquad -\vec{v}=(0,-1,0).
Considere uma combinação linear qualquer \alpha(2\vec{u})+\beta(-\vec{v})=\vec{0}. Em coordenadas:
(\,2\alpha,\,-\beta,\,0\,)= (0,0,0).
Isso força 2\alpha=0 e -\beta=0, ou seja \alpha=0 e \beta=0. Portanto a única combinação que dá o vetor nulo é a combinação trivial, o que significa que (2\vec{u},-\vec{v}) é linearmente independente (LI).
  • Conclusão do contraexemplo: as hipóteses (vetores não nulos e (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) LD) são satisfeitas, mas (2\vec{u},-\vec{v}) NÃO é LD. Logo a afirmação geral é falsa.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova:
  • A dependência de uma família com três vetores permite várias configurações (por exemplo, o terceiro pode ser combinação dos dois primeiros) e não garante que dois vetores específicos entre eles sejam colineares. Para dois vetores serem LD é necessário e suficiente que um seja múltiplo do outro (ou que um seja nulo). Sempre que enfrentar uma afirmação desse tipo, procurar um contraexemplo com vetores canônicos em \mathbb{R}^n costuma ser rápido e concludente.

Resposta

Falso.

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