Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
Se
e
não são nulos, então (
) é LD ⇒ (
) é LD.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- As vetores
são não nulos. - Sabe-se que
é linearmente dependente (LD).
A pergunta: a partir disso, podemos concluir queé LD? Deve-se responder verdadeiro ou falso e justificar.
Passo 2
Definição e critério úteis (explicados devagarinho):
- Uma família de vetores é linearmente dependente se existem escalares, nem todos zero, que combinados linearmente dão o vetor nulo. Ou seja,
é LD se existem , não todos zero, tais que
- Para duas vetores, há um critério simples e muito usado: dois vetores
e são LD se, e só se, um é múltiplo escalar do outro (ou um deles é o vetor nulo). Em símbolos: é LD existe com (ou ou ).
Explicação curta do porquê: secom algum dos não zero, por exemplo , então , logo é múltiplo. O outro caso é análogo.
Passo 3
O que significa
ser LD e por que isso não garante que
e
sejam múltiplos:
- Ser LD significa que existem escalares
, nem todos zero, tais que
- Se
podemos escrever
isto é,
está no espaço gerado por
e
. Mas isso apenas diz que
é combinação linear de
e
; não impõe que
seja combinação de
(ou vice-versa). Em outras palavras, a dependência pode vir do fato de que o terceiro vetor está dentro do plano gerado pelos dois primeiros, sem que os dois primeiros sejam colineares entre si.
Passo 4
Construção de um contraexemplo explícito (a melhor forma de provar que a afirmação é falsa):
- Trabalhe em
. Tome
Observações: todos são não nulos (ok).
- Verifique que
é LD: note que
logo existem coeficientes não todos nulos que anulam a combinação — a tripla é LD.
- Agora examine o par
. Calculando:
Considere uma combinação linear qualquer
. Em coordenadas:
Isso força
e
, ou seja
e
. Portanto a única combinação que dá o vetor nulo é a combinação trivial, o que significa que
é linearmente independente (LI).
- Conclusão do contraexemplo: as hipóteses (vetores não nulos e
LD) são satisfeitas, mas NÃO é LD. Logo a afirmação geral é falsa.
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova:
- A dependência de uma família com três vetores permite várias configurações (por exemplo, o terceiro pode ser combinação dos dois primeiros) e não garante que dois vetores específicos entre eles sejam colineares. Para dois vetores serem LD é necessário e suficiente que um seja múltiplo do outro (ou que um seja nulo). Sempre que enfrentar uma afirmação desse tipo, procurar um contraexemplo com vetores canônicos em
costuma ser rápido e concludente.
Resposta
Falso.