Verifique se p(x)=x^{2}+x+1 pertence ao espaço gerado por \left\{1, x, x^{2}\right\}.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função polinomial p(x)=x^{2}+x+1 pertence ao conjunto (espaço) gerado pelo conjunto \left\{1, x, x^{2}\right\}.
Informações fornecidas:
O polinômio dado é p(x)=x^{2}+x+1.
O conjunto gerador é \{1,x,x^{2}\}.
O que exatamente precisamos responder:
Existe uma combinação linear dos vetores (aqui: funções) 1, x e x^{2} que reproduz p(x)? Em outras palavras, existem escalares a,b,c tais que
a\cdot 1 + b\cdot x + c\cdot x^{2} = p(x)\\ ?
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
Definição de “espaço gerado” (span): o espaço gerado por \{1,x,x^{2}\}, denotado \operatorname{span}\{1,x,x^{2}\}, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis
\{\,a\cdot 1 + b\cdot x + c\cdot x^{2} \mid a,b,c\in\mathbb{R}\,\}.
Ou seja, um polinômio pertence ao espaço gerado se e somente se for possível escrever esse polinômio como a + b x + c x^{2} para alguns números a,b,c.
Estratégia: tentar escrever p(x) como uma combinação a + b x + c x^{2} e determinar a,b,c comparando coeficientes.
Passo 3
Colocar a igualdade que queremos testar:
a\cdot 1 + b\cdot x + c\cdot x^{2} \stackrel{?}{=} x^{2}+x+1.
Escrevendo de forma organizada:
a + b x + c x^{2} = 1\cdot x^{2} + 1\cdot x + 1.
Passo 4
Igualdade de polinômios: dois polinômios são iguais para todo x se e somente se os coeficientes de cada potência de x coincidem. Portanto igualamos coeficiente a coeficiente das potências x^{2}, x e x^{0} (constante).
Comparando coeficientes obtemos o sistema:
\begin{cases} c = 1 &\text{(coeficiente de }x^{2}\text{)},\\[4pt] b = 1 &\text{(coeficiente de }x\text{)},\\[4pt] a = 1 &\text{(termo constante)}. \end{cases}]
Passo 5
Resolver o sistema (aqui é imediato): a=1, b=1, c=1.
Portanto existe a combinação linear desejada, explicitamente:
p(x)=x^{2}+x+1 = 1\cdot 1 + 1\cdot x + 1\cdot x^{2}.
Passo 6
Interpretação final didática e dica para a prova:
Conclui-se que p(x) pertence ao espaço gerado por \{1,x,x^{2}\} porque foi encontrada uma combinação linear com coeficientes a=b=c=1.
Em provas, sempre que pedir se um polinômio pertence ao span de polinômios dados, tente escrever o polinômio como combinação linear e iguale coeficientes das potências de x. Isso costuma ser rápido e seguro.
Observação prática: \{1,x,x^{2}\} gera todo o espaço dos polinômios de grau ≤ 2, então qualquer polinômio de grau até 2 será sempre combinação desses três. Guardar isso economiza tempo.