1. Verifique se a matriz [[2,4],[6,8]] pertence ao espaço gerado por [[1,2],[3,4]].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
B=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix}
pertence ao espaço gerado pela matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A única geradora é A.
  • A pergunta é: existe algum escalar \lambda tal que B esteja no subespaço gerado por A? Em outras palavras, existe \lambda com B=\lambda A?]

Passo 2

O que significa "espaço gerado por A" quando só há uma matriz geradora?
  • Definição: o espaço gerado por uma matriz A (quando é única geradora) é o conjunto de todas as combinações lineares com um coeficiente, isto é
\text{span}\{A\}=\{\lambda A \mid \lambda\in\mathbb{R}\}.
  • Logo, para verificar se B\in\text{span}\{A\} basta verificar se existe \lambda tal que B=\lambda A.
    Essa é a ideia prática que se usa numa prova: supor B=\lambda A e ver se dá para encontrar um \lambda consistente com todas as entradas.

Passo 3

Escrevendo a equação B=\lambda A\) em termos das entradas: \[\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
Isso gera um sistema de equações por entradas:
\begin{cases} \lambda\cdot 1 = 2,\\[4pt] \lambda\cdot 2 = 4,\\[4pt] \lambda\cdot 3 = 6,\\[4pt] \lambda\cdot 4 = 8. \end{cases}
Se todas essas equações tiverem a mesma solução \lambda\], então \(B pertence ao espaço gerado. Caso contrário, não pertence.]

Passo 4

Resolver a primeira equação para \lambda:
\lambda\cdot 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad \lambda = 2.

Passo 5

Verificar se esse valor \lambda=2 satisfaz as demais equações:
\lambda\cdot 2 = 2\cdot 2 = 4 \quad\checkmark,
\lambda\cdot 3 = 2\cdot 3 = 6 \quad\checkmark,
\lambda\cdot 4 = 2\cdot 4 = 8 \quad\checkmark.
Todas as entradas coincidem com as de B, portanto a escolha \lambda=2 é consistente.

Passo 6

Conclusão e interpretação prática:
  • Encontrou-se \lambda=2 tal que B=2A.
  • Logo B\in\text{span}\{A\}.
    Dica para a prova: quando o gerador for único, sempre teste se a matriz objetivo é múltiplo escalar do gerador; isso reduz o problema a encontrar um único \lambda e checar consistência entre as entradas.

Resposta

Sim. \displaystyle \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 6 & 8\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}]

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