Verifique se o conjunto de funções \mathcal{B} é linearmente dependente ou independente em \mathcal{C}(\mathbb{R}) nos seguintes casos:
\mathcal{B}=\{x, \cos (x), \operatorname{sen}(x)\}\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \mathcal{B}=\{x,\cos(x),\sin(x)\}
é linearmente independente em \mathcal{C}(\mathbb{R}).
Para isso precisamos da definição: \mathcal{B} é independente se, sempre que \alpha x + \beta\cos(x) + \gamma\sin(x)=0 para todo x, então \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Suponha que existam reais \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,x \;+\;\beta\cos(x)\;+\;\gamma\sin(x)\;=\;0 \quad\forall\,x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Note que a função x\mapsto \alpha\,x é não limitada (cresce em módulo quando |x|\to\infty), enquanto \beta\cos(x)+\gamma\sin(x) é limitada por |\beta|+|\gamma|.
Para que a soma seja identicamente zero, o termo não limitado deve desaparecer, logo \alpha=0.

Passo 4

Com \alpha=0 fica
\beta\cos(x) + \gamma\sin(x)=0 \quad\forall\,x.
Avaliando em x=0 obtemos \beta\cdot1+\gamma\cdot0=0, logo \beta=0.
Avaliando em x=\frac{\pi}{2} obtemos \beta\cdot0+\gamma\cdot1=0, logo \gamma=0.

Resposta

O único vetor de coeficientes que anula a combinação linear é \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto, \mathcal{B} é linearmente independente em \mathcal{C}(\mathbb{R}).

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