Verifique se o conjunto de funções \mathcal{B} é linearmente dependente ou independente em \mathcal{C}(\mathbb{R}) nos seguintes casos:
\mathcal{B}=\left\{e^{t}, t e^{t}, e^{2 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções \r \mathcal{B}=\{e^{t},\,t e^{t},\,e^{2t}\} \r
é linearmente dependente ou independente em \mathcal{C}(\mathbb{R}). \r
O conteúdo é dependência linear em espaços de funções e podemos usar combinação linear e argumentos de funções de “tipo distinto” ou o Wronskiano.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que, para todo t\in\mathbb{R}, \r
a\,e^{t} \;+\; b\,t e^{t} \;+\; c\,e^{2t} \;=\;0. \r
Nosso objetivo é mostrar que a=b=c=0.

Passo 3

Fatorando e^{t} nos dois primeiros termos, escrevemos \r
a\,e^{t} + b\,t e^{t} = (a + b\,t)\,e^{t}, \r
logo a combinação fica \r
(a + b\,t)\,e^{t} \;+\; c\,e^{2t} \;=\;0.

Passo 4

Reescrevendo e^{2t} = e^{t}\cdot e^{t}, obtemos \r
(a + b\,t)\,e^{t} \;+\; c\,e^{t}\,e^{t} = e^{t}\bigl(a + b\,t + c\,e^{t}\bigr) =0. \r
Como e^{t}\neq 0 para todo t, segue \r
a + b\,t + c\,e^{t} = 0 \quad\text{para todo }t.

Passo 5

O termo c\,e^{t} é uma função exponencial não polinomial, enquanto a + b\,t é um polinômio de grau \le1. Para que a soma seja sempre zero, é necessário que \r
c=0 \quad\text{e}\quad a + b\,t = 0\;\;\forall t. \r
Da equação a + b\,t = 0 para todo t segue imediatamente b=0 e a=0.

Resposta

O único modo de anular a combinação linear é a=b=c=0. Portanto, o conjunto \{e^{t},\,t e^{t},\,e^{2t}\} é linearmente independente em \mathcal{C}(\mathbb{R}).

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