Verifique se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente em
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções \r
\r
é linearmente dependente ou independente em . \r
O conteúdo é dependência linear em espaços de funções e podemos usar combinação linear e argumentos de funções de “tipo distinto” ou o Wronskiano.
é linearmente dependente ou independente em
O conteúdo é dependência linear em espaços de funções e podemos usar combinação linear e argumentos de funções de “tipo distinto” ou o Wronskiano.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
, \r
Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Fatorando
nos dois primeiros termos, escrevemos \r
logo a combinação fica \r
Passo 4
Reescrevendo
, obtemos \r
Como
para todo
, segue \r
Passo 5
O termo
é uma função exponencial não polinomial, enquanto
é um polinômio de grau
. Para que a soma seja sempre zero, é necessário que \r
Da equação
para todo
segue imediatamente
e
.
Resposta
O único modo de anular a combinação linear é
. Portanto, o conjunto
é linearmente independente em
.