Exemplo 15: Processo iterativo para obtenção da raiz quadrada
Seja a>0. Tome um valor inicial x_{1}>0 tal que
x_{1}^{2}>a
e defina indutivamente
x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2}
Etapa inicial: experimentação numérica
Antes de iniciar a prova, escolham um valor para a>0 e façam um chute inicial x_{1}>0 tal que
x_{1}^{2}>a .
Em seguida, calculem alguns termos da sequência usando a fórmula
x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2}
Tarefas iniciais
  1. Escolha um valor de a>0.
  2. Escolha um valor inicial x_{1}>0 tal que
x_{1}^{2}>a .
  1. Calcule x_{2}, x_{3}, x_{4} e x_{5}.
  2. Compare os valores encontrados com \sqrt{a}.
  3. Descreva o que os cálculos sugerem sobre o comportamento da sequência.
Depois da experimentação, façam a prova de acordo com o livro
  1. Mostre que, se \sqrt{a}<x, então
\frac{a}{x}<\sqrt{a}<x
  1. Definindo
y=\frac{x+\frac{a}{x}}{2}
explique por que y é a média aritmética entre x e \frac{a}{x}.
3. Use a comparação entre média aritmética e média geométrica para justificar que
\sqrt{a}<y<x
  1. Conclua que a sequência ( x_{n} ) é decrescente.
  2. Mostre também que todos os termos satisfazem
x_{n}>\sqrt{a}
  1. Explique por que, daí, a sequência converge para algum número real c.
  2. Passe ao limite na relação de recorrência
x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2}
e obtenha
c=\frac{c+\frac{a}{c}}{2} .
  1. Conclua que
c^{2}=a \quad \mathrm{e}, \text { portanto, } \quad \lim x_{n}=\sqrt{a}
Para pensar
  1. O que os cálculos numéricos sugerem antes mesmo da demonstração?
  2. Por que esse processo fornece aproximações sucessivas para \sqrt{a} ?
  3. O que esse exemplo mostra sobre a existência da raiz quadrada de um número real positivo?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais escolhas farei na etapa de experimentação numérica.
  • Escolhi o valor a=10 (portanto \sqrt{a}=\sqrt{10}).
  • Escolhi o chute inicial x_{1}=4. Note que x_{1}^{2}=16>10, logo a condição x_{1}^{2}>a está satisfeita.
  • As tarefas iniciais pedem: calcular x_{2},x_{3},x_{4},x_{5} pela fórmula x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2},comparar esses valores com \sqrt{a} e descrever o comportamento observado.
  • Depois da experimentação, devo provar as afirmações teóricas indicadas (itens 1 a 8 do enunciado) e concluir que \lim_{n\to\infty} x_{n}=\sqrt{a}.

Passo 2

Cálculo de x_{2} a partir de x_{1}=4 e a=10. Mostrar todos os passos aritméticos.
  • Primeiro calcule \dfrac{a}{x_{1}}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}=2,5.
  • Então x_{2}=\frac{x_{1}+\frac{a}{x_{1}}}{2}=\frac{4+2,5}{2}=\frac{6,5}{2}=3,25.

Passo 3

Cálculo de x_{3} usando x_{2}=\dfrac{13}{4}=3,25.
  • Calcule \dfrac{a}{x_{2}}=\dfrac{10}{13/4}=\dfrac{40}{13}.
  • Escrevendo em forma racional e depois decimal: x_{3}=\frac{\dfrac{13}{4}+\dfrac{40}{13}}{2}.Colocando em denominador comum: \dfrac{13}{4}=\dfrac{169}{52} e \dfrac{40}{13}=\dfrac{160}{52}. Assim x_{3}=\frac{\dfrac{169+160}{52}}{2}=\frac{\dfrac{329}{52}}{2}=\frac{329}{104}.
  • Em decimal temos x_{3}=\frac{329}{104}\approx 3,163461538\ldots(a repetição decimal vem de \dfrac{40}{13}=3,076923076\ldots, que já foi usada ao calcular a média).

Passo 4

Cálculo de x_{4} usando x_{3}=\dfrac{329}{104}.
  • Primeiro \dfrac{a}{x_{3}}=\dfrac{10}{329/104}=\dfrac{1040}{329}.
  • Então x_{4}=\frac{\dfrac{329}{104}+\dfrac{1040}{329}}{2}=\frac{216401}{68432}\quad(\text{fração exata}).çã
  • Em decimal: x_{4}\approx 3,162277665\ldots

Passo 5

Cálculo de x_{5} aproximado (já com valores decimais para facilitar).
  • Aplicando a fórmula numericamente a partir de x_{4}\approx 3,162277665: x_{5}=\frac{x_{4}+\dfrac{10}{x_{4}}}{2}\approx 3,162277660168\ldots
  • Observe que este valor já coincide, com muita precisão, com \sqrt{10}\approx 3,162277660168379\ldots.

Passo 6

Comparação dos valores obtidos com \sqrt{a}=\sqrt{10}.
  • Valores calculados (aproximações): x_{1}=4,\quad x_{2}=3,25,\quad x_{3}\approx 3,163461538,\quad x_{4}\approx 3,162277665,\quad x_{5}\approx 3,162277660168\ldots
  • E \sqrt{10}\approx 3,162277660168379\ldots.
  • Observação: a sequência vai se aproximando de \sqrt{10} a partir de cima: x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}>x_{5}>\cdots e os termos ficam rapidamente muito próximos de \sqrt{10}.

Passo 7

Descrição informal do que os cálculos sugerem (intuição antes da prova).
  • A cada iteração a média aritmética entre x_{n} e \dfrac{a}{x_{n}} puxa o valor para um número menor (quando x_{n}>\sqrt{a}) e muito próximo de \sqrt{a}.
  • O processo parece produzir uma sequência decrescente e limitada inferiormente por \sqrt{a}, convergindo muito rapidamente para \sqrt{a}.

Passo 8

Agora a parte teórica: provar as afirmações do livro passo a passo. Começo mostrando a desigualdade auxiliar pedida no item 1 do enunciado.
  • Suponha x>0 e \sqrt{a}<x. Como \sqrt{a}>0, multiplicando a desigualdade \sqrt{a}<x por \sqrt{a} (número positivo) obtemos a< x\sqrt{a}.
  • Dividindo essa desigualdade por x>0 obtemos \frac{a}{x}<\sqrt{a}.
  • Portanto \frac{a}{x}<\sqrt{a}<x,que é exatamente o que se pedia.

Passo 9

Explicar por que y=\dfrac{x+\frac{a}{x}}{2} é a média aritmética entre x e \dfrac{a}{x}.
  • A média aritmética de dois números positivos u e v é \dfrac{u+v}{2}.
  • Tomando u=x e v=\dfrac{a}{x} obtemos y=\frac{x+\frac{a}{x}}{2},que é, por definição, a média aritmética entre x e \dfrac{a}{x}.

Passo 10

Usar a comparação entre média aritmética (MA) e média geométrica (MG) para justificar que \sqrt{a}<y<x.
  • Teorema conhecido (MA \ge MG): para u>0 e v>0, \frac{u+v}{2}\ge\sqrt{uv},com igualdade se, e somente se, u=v.
  • Tomando u=x e v=\dfrac{a}{x} (ambos positivos), temos y=\frac{x+\frac{a}{x}}{2}\ge\sqrt{x\cdot\frac{a}{x}}=\sqrt{a}.
  • Como, pela desigualdade do Passo 8, temos \dfrac{a}{x}<\sqrt{a}<x, os dois números x e \dfrac{a}{x} são distintos; portanto a MA é estritamente maior que a MG nesta situação. Logo y>\sqrt{a}.
  • Além disso, como y é a média de x e de um número menor que x, necessariamente y<x. Formalmente, se v<x então \dfrac{x+v}{2}<x.
  • Combinando as duas observações: \sqrt{a}<y<x.

Passo 11

Concluir que a sequência (x_{n}) é decrescente (item 4 do enunciado).
  • Hipótese inicial do enunciado garante x_{1}>\sqrt{a}.
  • Suponha x_{n}>\sqrt{a}. Pelos Passos 8–10, então \sqrt{a}<x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2}<x_{n}.
  • Assim x_{n+1}<x_{n}. Pelo princípio da indução, (x_{n}) é estritamente decrescente.

Passo 12

Mostrar que todos os termos satisfazem x_{n}>\sqrt{a} (item 5).
  • Base: x_{1}>\sqrt{a} por hipótese.
  • Passo indutivo: se x_{n}>\sqrt{a} então pelo Passo 10 temos x_{n+1}>\sqrt{a}.
  • Portanto, por indução, x_{n}>\sqrt{a} para todo n.

Passo 13

Convergência da sequência (item 6).
  • A sequência (x_{n}) foi mostrada ser decrescente (Passo 11) e está limitada inferiormente por \sqrt{a} (Passo 12).
  • Pelo teorema do limite de sequências monotônicas (ou teorema da convergência monótona): toda sequência monótona e limitada converge.
  • Logo existe um número real c tal que \lim_{n\to\infty} x_{n}=c,com c\ge\sqrt{a}.

Passo 14

Passar ao limite na relação de recorrência e encontrar a equação de c (itens 7 e 8).
  • A relação é x_{n+1}=\frac{x_{n}+\frac{a}{x_{n}}}{2}.
  • Como as operações soma, divisão por 2 e recíproca são contínuas no intervalo de positivos, podemos passar ao limite em ambos os lados e obter c=\frac{c+\frac{a}{c}}{2}.
  • Multiplicando ambos os lados por 2c (note c>0, pois todos os x_{n}>0), obtemos 2c^{2}=c^{2}+a.
  • Subtraindo c^{2} de ambos os lados: c^{2}=a.
  • Como c>0, segue c=\sqrt{a}.
  • Conclusão final: \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_{n}=\sqrt{a}.

Passo 15

Comentário final e resposta às perguntas “Para pensar”.
  • O processo usado é o método de Newton para resolver x^{2}-a=0 aplicado de forma explícita nesta iteração; a média entre x e a/x corrige o chute anterior e garante aproximações cada vez melhores.
  • O exemplo confirma, construtivamente, que todo número real positivo a tem uma raiz quadrada positiva: a sequência constrói aproximações que convergem para essa raiz.

Resposta

Escolhas: a=10,\;x_{1}=4.
Valores calculados:
x_{2}=3,25,\quad x_{3}=\frac{329}{104}\approx 3,163461538,\quad x_{4}=\frac{216401}{68432}\approx 3,162277665,\quad x_{5}\approx 3,162277660168\ldots
Comparação com \sqrt{a}: \sqrt{10}\approx 3,162277660168379\ldots e os x_{n} aproximam-se dele a partir de cima.
Comportamento observado: a sequência é estritamente decrescente e fica sempre acima de \sqrt{a}; converge rapidamente para \sqrt{a}.
Limite teórico: \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_{n}=\sqrt{a}.
Para pensar — respostas:
  1. Os cálculos sugerem que a sequência aproxima \sqrt{a} a partir de valores maiores e converge muito rapidamente.
  2. O processo fornece aproximações porque cada termo é a média aritmética entre x_{n} e a/x_{n}; por desigualdades (MA \ge MG) e pela escolha inicial x_{1}>\sqrt{a}, cada x_{n+1} fica estritamente entre \sqrt{a} e x_{n}, aproximando-se de \sqrt{a}.
  3. O exemplo mostra construtivamente que todo a>0 tem uma raiz quadrada positiva: a sequência monotônica e limitada produz essa raiz como limite.

Exercícios relacionados