Exemplo 15: Processo iterativo para obtenção da raiz quadrada
Seja
. Tome um valor inicial
tal que
e defina indutivamente
Etapa inicial: experimentação numérica
Antes de iniciar a prova, escolham um valor para
e façam um chute inicial
tal que
Em seguida, calculem alguns termos da sequência usando a fórmula
Tarefas iniciais
- Escolha um valor de
.
- Escolha um valor inicial
tal que
- Calcule
e
.
- Compare os valores encontrados com
.
- Descreva o que os cálculos sugerem sobre o comportamento da sequência.
Depois da experimentação, façam a prova de acordo com o livro
- Mostre que, se
, então
- Definindo
explique por que
é a média aritmética entre
e
.
3. Use a comparação entre média aritmética e média geométrica para justificar que
- Conclua que a sequência (
) é decrescente.
- Mostre também que todos os termos satisfazem
- Explique por que, daí, a sequência converge para algum número real
.
- Passe ao limite na relação de recorrência
e obtenha
- Conclua que
Para pensar
- O que os cálculos numéricos sugerem antes mesmo da demonstração?
- Por que esse processo fornece aproximações sucessivas para
?
- O que esse exemplo mostra sobre a existência da raiz quadrada de um número real positivo?
3. Use a comparação entre média aritmética e média geométrica para justificar que
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais escolhas farei na etapa de experimentação numérica.
- Escolhi o valor
(portanto ). - Escolhi o chute inicial
. Note que , logo a condição está satisfeita. - As tarefas iniciais pedem: calcular
pela fórmula comparar esses valores com e descrever o comportamento observado. - Depois da experimentação, devo provar as afirmações teóricas indicadas (itens 1 a 8 do enunciado) e concluir que
.
Passo 2
Cálculo de
a partir de
e
. Mostrar todos os passos aritméticos.
- Primeiro calcule
. - Então
Passo 3
Cálculo de
usando
.
- Calcule
. - Escrevendo em forma racional e depois decimal:
Colocando em denominador comum: e . Assim - Em decimal temos
(a repetição decimal vem de , que já foi usada ao calcular a média).
Passo 4
Cálculo de
usando
.
- Primeiro
. - Então
- Em decimal:
Passo 5
Cálculo de
aproximado (já com valores decimais para facilitar).
- Aplicando a fórmula numericamente a partir de
: - Observe que este valor já coincide, com muita precisão, com
.
Passo 6
Comparação dos valores obtidos com
.
- Valores calculados (aproximações):
- E
. - Observação: a sequência vai se aproximando de
a partir de cima: e os termos ficam rapidamente muito próximos de .
Passo 7
Descrição informal do que os cálculos sugerem (intuição antes da prova).
- A cada iteração a média aritmética entre
e puxa o valor para um número menor (quando ) e muito próximo de . - O processo parece produzir uma sequência decrescente e limitada inferiormente por
, convergindo muito rapidamente para .
Passo 8
Agora a parte teórica: provar as afirmações do livro passo a passo. Começo mostrando a desigualdade auxiliar pedida no item 1 do enunciado.
- Suponha
e . Como , multiplicando a desigualdade por (número positivo) obtemos . - Dividindo essa desigualdade por
obtemos - Portanto
que é exatamente o que se pedia.
Passo 9
Explicar por que
é a média aritmética entre
e
.
- A média aritmética de dois números positivos
e é . - Tomando
e obtemos que é, por definição, a média aritmética entre e .
Passo 10
Usar a comparação entre média aritmética (MA) e média geométrica (MG) para justificar que
.
- Teorema conhecido (MA
MG): para e , com igualdade se, e somente se, . - Tomando
e (ambos positivos), temos - Como, pela desigualdade do Passo 8, temos
, os dois números e são distintos; portanto a MA é estritamente maior que a MG nesta situação. Logo - Além disso, como
é a média de e de um número menor que , necessariamente . Formalmente, se então . - Combinando as duas observações:
Passo 11
Concluir que a sequência
é decrescente (item 4 do enunciado).
- Hipótese inicial do enunciado garante
. - Suponha
. Pelos Passos 8–10, então - Assim
. Pelo princípio da indução, é estritamente decrescente.
Passo 12
Mostrar que todos os termos satisfazem
(item 5).
- Base:
por hipótese. - Passo indutivo: se
então pelo Passo 10 temos . - Portanto, por indução,
para todo .
Passo 13
Convergência da sequência (item 6).
- A sequência
foi mostrada ser decrescente (Passo 11) e está limitada inferiormente por (Passo 12). - Pelo teorema do limite de sequências monotônicas (ou teorema da convergência monótona): toda sequência monótona e limitada converge.
- Logo existe um número real
tal que com .
Passo 14
Passar ao limite na relação de recorrência e encontrar a equação de
(itens 7 e 8).
- A relação é
- Como as operações soma, divisão por 2 e recíproca são contínuas no intervalo de positivos, podemos passar ao limite em ambos os lados e obter
- Multiplicando ambos os lados por
(note , pois todos os ), obtemos - Subtraindo
de ambos os lados: - Como
, segue . - Conclusão final:
.
Passo 15
Comentário final e resposta às perguntas “Para pensar”.
- O processo usado é o método de Newton para resolver
aplicado de forma explícita nesta iteração; a média entre e corrige o chute anterior e garante aproximações cada vez melhores. - O exemplo confirma, construtivamente, que todo número real positivo
tem uma raiz quadrada positiva: a sequência constrói aproximações que convergem para essa raiz.
Resposta
Escolhas:
.
Valores calculados:
Valores calculados:
Comparação com
:
e os
aproximam-se dele a partir de cima.
Comportamento observado: a sequência é estritamente decrescente e fica sempre acima de ; converge rapidamente para
.
Limite teórico: .
Para pensar — respostas:
Comportamento observado: a sequência é estritamente decrescente e fica sempre acima de
Limite teórico:
Para pensar — respostas:
- Os cálculos sugerem que a sequência aproxima
a partir de valores maiores e converge muito rapidamente. - O processo fornece aproximações porque cada termo é a média aritmética entre
e ; por desigualdades (MA MG) e pela escolha inicial , cada fica estritamente entre e , aproximando-se de . - O exemplo mostra construtivamente que todo
tem uma raiz quadrada positiva: a sequência monotônica e limitada produz essa raiz como limite.