Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Sejam
matrizes distintas em
. Então,
é gerador de
.
Sejam
Passo 1
O enunciado pergunta se “toda coleção de cinco matrizes distintas em
” gera o espaço todo
. Vamos usar conceitos de dimensão de espaço vetorial e subespaços para responder.
Passo 2
Sabemos que
Um conjunto gera um espaço vetorial quando seu span atinge toda a dimensão. Ter cinco vetores (ou matrizes) não garante geração: eles podem estar confinados num subespaço de dimensão menor.
Passo 3
Considere o subespaço
das matrizes diagonais em
:
que tem dimensão 2. Escolha cinco matrizes distintas em
, por exemplo
Como
, o span dessas cinco matrizes fica em
, que é estritamente menor que
.
Passo 4
Então existe pelo menos um conjunto de cinco matrizes que não gera
. Logo, a afirmação de que toda coleção de cinco matrizes distintas gera
é falsa.
Resposta
Falso.