Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Sejam M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{5} matrizes distintas em M_{2}(\mathbb{R}). Então, \left\{M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{5}\right\} é gerador de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda coleção de cinco matrizes distintas em M_2(\mathbb{R})” gera o espaço todo M_2(\mathbb{R}). Vamos usar conceitos de dimensão de espaço vetorial e subespaços para responder.

Passo 2

Sabemos que
\dim\bigl(M_2(\mathbb{R})\bigr)=4.
Um conjunto gera um espaço vetorial quando seu span atinge toda a dimensão. Ter cinco vetores (ou matrizes) não garante geração: eles podem estar confinados num subespaço de dimensão menor.

Passo 3

Considere o subespaço D das matrizes diagonais em M_2(\mathbb{R}):
D=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&b\end{pmatrix}\mid a,b\in\mathbb{R}\Bigr\},
que tem dimensão 2. Escolha cinco matrizes distintas em D, por exemplo
M_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad M_2=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad M_3=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad M_4=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix},\quad M_5=\begin{pmatrix}5&0\\\ 0&7\end{pmatrix}.
Como \{M_1,\dots,M_5\}\subset D, o span dessas cinco matrizes fica em D, que é estritamente menor que M_2(\mathbb{R}).

Passo 4

Então existe pelo menos um conjunto de cinco matrizes que não gera M_2(\mathbb{R}). Logo, a afirmação de que toda coleção de cinco matrizes distintas gera M_2(\mathbb{R}) é falsa.

Resposta

Falso.

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