Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2) : S=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) ; a, b, c \in I R\right\} (matrizes triangulares superiores)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
S = \left\{\,\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]0 & d\end{pmatrix}\;\bigg|\;a,b,d\in\mathbb{R}\right\}
é subespaço de M(2,2), o espaço vetorial de todas as matrizes 2\times2. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
S não pode ser vazio (deve conter a matriz zero).
S deve ser fechado sob soma.
S deve ser fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}
é da forma \begin{pmatrix}a&b\\\ 0&d\end{pmatrix} com a=b=d=0. Logo, 0\in S e S\neq\varnothing.]
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
A = \begin{pmatrix}a_1 & b_1\\[3pt]0 & d_1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}a_2 & b_2\\[3pt]0 & d_2\end{pmatrix}
em S. Então
A + B = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[3pt]0+0 & d_1+d_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[3pt]0 & d_1+d_2\end{pmatrix}.
Como a_1+a_2, b_1+b_2 e d_1+d_2 estão em \mathbb{R}, segue A+B\in S.]
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e
A = \begin{pmatrix}a & b\\[3pt]0 & d\end{pmatrix} \;\in S.
Então
\lambda A = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[3pt]\lambda\cdot0 & \lambda d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[3pt]0 & \lambda d\end{pmatrix}.
Como \lambda a,\lambda b,\lambda d\in\mathbb{R}, temos \lambda A\in S.]
Passo 5
Como S contém a matriz zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é subespaço de M(2,2).