Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Sejam M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{5} matrizes distintas em M_{2}(\mathbb{R}). Então, \left\{M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{5}\right\} é gerador de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pergunta se qualquer conjunto de cinco matrizes distintas em \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) gera todo o espaço \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}). O conteúdo é teoria de espaços vetoriais: dimensão e conjuntos geradores.

Passo 2

Sabemos que \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) é um espaço vetorial de dimensão 4 sobre \mathbb{R}. Para um conjunto gerar todo o espaço, ele precisa conter pelo menos 4 vetores linearmente independentes. Ter 5 vetores distintos não garante independência nem que seu span seja todo o espaço.

Passo 3

Exemplo de contra­exemplo: defina, para i=1,2,3,4,5,
M_i = i \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Cada M_i é distinto, mas todos estão em \mathrm{span}\bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\bigr\}, que tem dimensão 1. Logo \{M_1,\dots,M_5\} não gera \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}).]

Resposta

Falso.

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