Verdadeiro ou falso? Justique.
a) (-\mathbf{A})^{T}=-\left(\mathbf{A}^{T}\right)
b) Se \mathbf{A} e \mathbf{B} são matrizes simétricas então \mathbf{A B}=\mathbf{B A}
c) \mathrm{Se} \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0}
d) Se podemos efetuar o produto \mathbf{A A}, então \mathbf{A} é uma matriz quadrada.
e) Cada coluna de \mathbf{A B} é uma combinação linear das colunas de \mathbf{B} usando como pesos os elementos da coluna correspondente de \mathbf{A}.
f) A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
g) Dada qualquer matriz quadrada \mathbf{A} temos \operatorname{tr} \mathbf{A}=\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{T}\right)

Passo 1

O enunciado pede para julgar cada afirmação sobre matrizes como verdadeira ou falsa e justificar. Vamos usar propriedades de transposta (linearidade e reversão de ordem), definição de matriz simétrica (igual à sua transposta), condição de existência de produto (número de colunas de uma igual ao número de linhas da outra), exemplos contraexemplos para produtos nulos não comutativos, forma de colunas em produtos, e propriedade do traço (soma dos elementos da diagonal).

Passo 2

Afirmação a) (-\mathbf{A})^{T} = -\bigl(\mathbf{A}^{T}\bigr).
A transposta é uma aplicação linear, logo conserva soma e fator escalar:
(-\mathbf{A})^{T} = -\,\mathbf{A}^{T}.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação b) Se \mathbf{A} e \mathbf{B} são simétricas então \mathbf{A B}=\mathbf{B A}.
Duas matrizes simétricas satisfazem \mathbf{A}=\mathbf{A}^{T} e \mathbf{B}=\mathbf{B}^{T}, mas isso não garante comutação.
Contraexemplo em 2\times2:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&3\end{pmatrix},\quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}4&5\\\ 5&6\end{pmatrix}.
Calcula-se \mathbf{AB}\neq \mathbf{BA}. Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação c) Se \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0}.
O produto nulo não implica comutação.
Contraexemplo em 2\times2:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Então
\mathbf{AB}=\mathbf{0},\quad \mathbf{BA}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\neq\mathbf{0}.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 5

Afirmação d) Se podemos efetuar o produto \mathbf{A A}, então \mathbf{A} é uma matriz quadrada.
Para que \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} exista, o número de colunas de \mathbf{A} deve ser igual ao número de suas linhas. Isso equivale a dizer que \mathbf{A} é n\times n. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Afirmação e) Cada coluna de \mathbf{A B} é uma combinação linear das colunas de \mathbf{B} usando como pesos os elementos da coluna correspondente de \mathbf{A}.
Na verdade, a j-ésima coluna de \mathbf{AB} é
\mathbf{A}\bigl(\text{col}_j(\mathbf{B})\bigr),
ou seja, combinação linear das colunas de \mathbf{A} com coeficientes dados pelos elementos de \text{col}_j(\mathbf{B}). O enunciado inverteu as matrizes: as colunas de \mathbf{AB} vêm das colunas de \mathbf{A}, não de \mathbf{B}. Assim, a afirmação é falsa.

Passo 7

Afirmação f) A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.
O resultado correto é
(\mathbf{AB})^{T} = \mathbf{B}^{T}\,\mathbf{A}^{T},
isto é, há inversão da ordem. Se a afirmação quer dizer sem inverter a ordem, então é falsa.

Passo 8

Afirmação g) Dada qualquer matriz quadrada \mathbf{A} temos \operatorname{tr}\mathbf{A} = \operatorname{tr}(\mathbf{A}^{T}).
Como o traço é soma dos elementos da diagonal e \mathbf{A} e \mathbf{A}^T têm a mesma diagonal, vale
\operatorname{tr}\mathbf{A} = \operatorname{tr}\bigl(\mathbf{A}^{T}\bigr).
Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeiro
b) Falso
c) Falso
d) Verdadeiro
e) Falso
f) Falso
g) Verdadeiro

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