Considerando as matrizes: \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], \quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right], \quad \mathbf{C}=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right], \quad \mathbf{D}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right], \quad \mathbf{E}=\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right], calcule os seguintes (quando possível): d) \mathbf{B}^{T}\left(\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}-\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}\right) Passo 1O enunciado pede para calcular \mathbf{B}^{T}\bigl(\mathbf{C}\,\mathbf{C}^{T}-\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\bigr) onde \mathbf{A} é 3\times2, \mathbf{C} é 2\times3 e \mathbf{B} é 2\times2. Vamos primeiro achar \mathbf{C}\,\mathbf{C}^{T}, depois \mathbf{A}^{T}\mathbf{A}, subtrair, e então multiplicar à esquerda por \mathbf{B}^{T}. Passo 2Calcular \mathbf{C}\,\mathbf{C}^{T}. Temos \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2\\\\ 3 & 1 & 5 \end{pmatrix}, então \mathbf{C}\,\mathbf{C}^{T} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 4\cdot4 + 2\cdot2 & 1\cdot3 + 4\cdot1 + 2\cdot5 \\[6pt] 3\cdot1 + 1\cdot4 + 5\cdot2 & 3\cdot3 + 1\cdot1 + 5\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 17\\\\ 17 & 35 \end{pmatrix}.] Passo 3Calcular \mathbf{A}^{T}\mathbf{A}. Como \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 0\\\\ -1 & 2\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}, temos \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3^2 + (-1)^2 + 1^2 & 3\cdot0 + (-1)\cdot2 + 1\cdot1 \\[6pt] 3\cdot0 + (-1)\cdot2 + 1\cdot1 & 0^2 + 2^2 + 1^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & -1\\\\ -1 & 5 \end{pmatrix}.] Passo 4Formar a diferença \mathbf{C}\,\mathbf{C}^{T} \;-\;\mathbf{A}^{T}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 21 & 17\\\\ 17 & 35 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 11 & -1\\\\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 18\\\\ 18 & 30 \end{pmatrix}. Passo 5Multiplicar \mathbf{B}^{T} por essa diferença. Primeiro \mathbf{B} = \begin{pmatrix}4 & -1\\\ 0 & 2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{B}^{T} = \begin{pmatrix}4 & 0\\\ -1 & 2\end{pmatrix}. Então \mathbf{B}^{T} \begin{pmatrix} 10 & 18\\\\ 18 & 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot10 + 0\cdot18 & 4\cdot18 + 0\cdot30\\[4pt] (-1)\cdot10 + 2\cdot18 & (-1)\cdot18 + 2\cdot30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 & 72\\\\ 26 & 42 \end{pmatrix}.] Resposta \mathbf{B}^{T}\bigl(\mathbf{C}\,\mathbf{C}^{T}-\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\bigr) = \begin{pmatrix} 40 & 72\\\\ 26 & 42 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosof (4) (2 ptos) Determine se o conjunto A é L.D. ou L.I. A=\left\{x, e^{x}, e^{2 x}\right\} \subset \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}). of (4) (2 ptos) Determine se o conjunto A é L.D. ou L.I. A=\{(1,-2,-1),(0,1,1),(3,-4,-1)\} \subset \mathbb{R}^{3}, Sendo \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\\\ 4 & 5 & x\end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}-2 \\\ y \\\\ 1\end{array}\right] e \mathbf{C}=\left[\begin{array}{c}13 \\\\ 10\end{array}\right] matrizes reais tais que \mathbf{A B}=\mathbf{C}, determine x+y. Verdadeiro ou falso? Justique. a) (-\mathbf{A})^{T}=-\left(\mathbf{A}^{T}\right) b) Se \mathbf{A} e \mathbf{B} são matrizes simétricas então \mathbf{A B}=\mathbf{B A} c) \mathrm{Se} \mathbf{A B}=\mathbf{0} então \mathbf{B A}=\mathbf{0} d) Se podemos efetuar o produto \mathbf{A A}, então \mathbf{A} é uma matriz quadrada. e) Cada coluna de \mathbf{A B} é uma combinação linear das colunas de \mathbf{B} usando como pesos os elementos da coluna correspondente de \mathbf{A}. f) A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas. g) Dada qualquer matriz quadrada \mathbf{A} temos \operatorname{tr} \mathbf{A}=\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^{T}\right)