Verdadeiro ou falso? O logaritmo de um número positivo é positivo. Justifique sua resposta.

Passo 1

Estamos vendo uma questão sobre logaritmos, mais especificamente se o logaritmo de um número positivo é sempre positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é logaritmo, quais são suas propriedades básicas e como o valor do logaritmo varia dependendo do número que estamos usando.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um logaritmo. O logaritmo de um número na base é o expoente ao qual precisamos elevar para obter . Em fórmula, isso é escrito como:
Aqui, é a base do logaritmo e deve ser um número positivo diferente de 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar quando o logaritmo é positivo, negativo ou zero. Supondo que a base seja maior que 1 (como o logaritmo natural, por exemplo):
  • Se , então
  • Se , então , porque
  • Se , então
Isso acontece porque, para maior que a base, o expoente precisa ser positivo para alcançar . Para menor que a base mas ainda positivo, o expoente precisa ser negativo.

Passo 4

Então, a afirmação “O logaritmo de um número positivo é positivo” não é sempre verdadeira. Ela é verdadeira somente quando o número positivo é maior que 1. Se o número estiver entre 0 e 1, o logaritmo será negativo.

Resposta

Falso. O logaritmo de um número positivo é positivo apenas quando esse número é maior que 1. Para números entre 0 e 1, o logaritmo é negativo.

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