É verdadeiro ou falso?
Se a_{n}>0 e \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é convergente, então \sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{sen}\left(a_{n}\right) também é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado a_{n}>0 e a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
convergente, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\bigl(a_{n}\bigr)
também converge. O conteúdo principal aqui é séries numéricas de termos não negativos e o teste da comparação.

Passo 2

Usamos a propriedade bem conhecida de que, para todo x\ge0, vale
\sin(x)\le x.

Passo 3

Como a_{n}>0, temos \sin\bigl(a_{n}\bigr)\ge0 e
\sin\bigl(a_{n}\bigr)\le a_{n}
para cada n.

Passo 4

Pela comparação direta, como
0\le \sin(a_{n})\le a_{n}
e \sum a_{n} é convergente, segue que
\sum \sin(a_{n})
também converge.

Resposta

Verdadeiro.

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