É verdadeiro ou falso?
Se b_{n}>0 e \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} b_{n} é convergente, então \lim b_{n}=0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se é verdadeiro ou falso que, dadas \{b_n\} com b_n>0 e sabendo que a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}b_n
converge, então \lim_{n\to\infty}b_n=0.
O conteúdo principal é a condição necessária para convergência de séries: se \sum a_n converge, então a_n\to0.

Passo 2

Defina
a_n = (-1)^{n-1}b_n.
Como \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge, vale a propriedade geral de séries convergentes:
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Passo 3

Mas b_n = |a_n|. Como a_n\to0, segue que
b_n = |a_n| \to 0.

Resposta

Verdadeiro.

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