Verdadeiro ou Falso? Prove ou dê um contraexemplo.
Se A comuta com A+B, então A comuta com B.

Passo 1

O enunciado nos coloca num anel (por exemplo, matrizes quadradas) em que
A(A+B) = (A+B)A
e pede para mostrar que daí segue
AB = BA.
O conteúdo é simples álgebra de anel: usamos distributividade e a propriedade de cancelamento na adição.

Passo 2

Começamos expandindo ambos os lados pela distributividade:
A(A+B) = A^2 + AB,
(A+B)A = A^2 + BA.

Passo 3

Como as duas expressões são iguais, temos
A^2 + AB = A^2 + BA.
Agora subtraímos A^2 de ambos os lados (o anel tem grupo aditivo abeliano, logo permitimos esse cancelamento):
(A^2 + AB) - A^2 = (A^2 + BA) - A^2
AB = BA.

Resposta

Verdadeiro.

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