Verdadeiro ou Falso? Prove ou dê um contraexemplo. No que segue A, B e S são matrizes com dimensões apropriadas, de forma que cada operação esteja definida.
(a) O determinante de S^{-1} A S é igual ao determinante de A.
(b) Sejam A e P matrizes n \times n, tais que P A=P e P é inversível. Então, \operatorname{det}(A)=1

Passo 1

O enunciado pede para avaliar duas afirmações envolvendo determinantes de matrizes quadradas:
– (a) se vale ou não que \det\bigl(S^{-1}AS\bigr)=\det(A) para matrizes A e inversível S;
– (b) se de PA=P com P invertível segue que \det(A)=1.
O conteúdo usado será a multiplicatividade do determinante e a invertibilidade de P.

Passo 2

Para (a), lembramos que para matrizes quadradas X,Y vale \det(XY)=\det(X)\det(Y) e, se X é invertível, \det(X^{-1})=\det(X)^{-1}. Logo,
\det\bigl(S^{-1}AS\bigr) =\det(S^{-1})\,\det(A)\,\det(S) =\det(S)^{-1}\,\det(A)\,\det(S) =\det(A).
Portanto a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b), partimos de PA=P com P invertível. Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos
P^{-1}(PA)=P^{-1}P \quad\Longrightarrow\quad A=I.
Como \det(I)=1, segue \det(A)=1. Logo a afirmação (b) também é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.

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