Se verdadeiro, prove. Se falso dê um contra exemplo.
Toda EDO de variáveis separáveis é linear.

Passo 1

O enunciado pede que eu avalie a afirmação: “Toda EDO de variáveis separáveis é linear.”
Devo responder se a afirmação é verdadeira — e provar — ou se é falsa — e então dar um contraexemplo.
Não há outras informações numéricas fornecidas; o objetivo é analisar a afirmação em termos gerais e produzir uma prova ou um contraexemplo.

Passo 2

Vou começar lembrando, com calma e de forma didática, o que significam as duas propriedades envolvidas (isso é essencial para entender por que a afirmação pode ou não ser verdadeira).
Definição de EDO de variáveis separáveis (ordem 1): uma equação diferencial de primeira ordem é dita separável se pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y),
onde f depende só de x e g depende só de y. A ideia prática é que dá para “separar” os termos com y num lado e os termos com x no outro, como
\frac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx,
e integrar ambos os lados.
Definição de EDO linear de primeira ordem: uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
onde p e q são funções que dependem só de x. Note que nesta forma a dependência de y é linear (aparece y elevado à potência 1, sem produtos y^2, \sin y, etc.).
Observação rápida (intuição): a função do lado direito de uma EDO linear é uma função afim em y (isto é, da forma \text{(coeficiente)}\cdot y + \text{(termo independente)}), enquanto numa EDO separável o lado direito é um produto de uma função de x por uma função de y; essas classes se sobrepõem em alguns casos (por exemplo \frac{dy}{dx}=a(x)\,y é linear e também separável), mas não é óbvio que uma fique contida na outra.

Passo 3

Estratégia: mostrar que a afirmação é falsa, fornecendo um contraexemplo simples — uma equação que é separável mas que não é linear. Vou escolher uma equação bem básica e que dá pouco trabalho para demonstrar as propriedades pedidas.
Considere a EDO
\frac{dy}{dx}=y^{2}.
Vou primeiro mostrar que ela é separável.

Passo 4

Verificando separabilidade da equação \dfrac{dy}{dx}=y^{2}.
Escreve-se
\frac{dy}{dx}=1\cdot y^{2},
ou seja, aqui f(x)=1 (função que depende apenas de x) e g(y)=y^{2} (função que depende apenas de y). Assim a equação está na forma \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y), portanto é separável.
Para ilustrar o procedimento de resolução (que confirma que é separável), separa-se as variáveis:
\frac{dy}{y^{2}}=dx.
Integrando ambos os lados (com cuidado: integrais indefinidas),
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int dx.
A integral à esquerda é -\dfrac{1}{y} (mais constante), então obtemos
-\frac{1}{y}=x+C,
ou seja
y(x)=-\frac{1}{x+C},
que é a família de soluções (mais a solução constante y\equiv 0, que também satisfa z \dfrac{dy}{dx}=y^2). Tudo consistente com separabilidade.

Passo 5

Agora vou mostrar que essa mesma equação não é linear. Lembrando a forma geral da linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x).
Se a equação \dfrac{dy}{dx}=y^{2} fosse linear, então existiriam funções p(x) e q(x) tais que, para todo x e para as funções y relevantes, as duas equações fossem equivalentes. Reescrevendo \dfrac{dy}{dx}=y^{2} de modo a comparar com a forma linear:
\frac{dy}{dx} - y^{2} = 0.
Comparando com \dfrac{dy}{dx}+p(x)\,y-q(x)=0, veria-se que precisaríamos ter
- y^{2} = p(x)\,y - q(x),
ou equivalentemente
y^{2} + p(x)\,y - q(x)=0.
A chave aqui é olhar a dependência em y: o lado esquerdo desta igualdade, visto como função em y (com x fixo), é um polinômio de grau 2 em y cujo coeficiente de y^{2} é 1. Já o lado que vem de uma equação linear em y só permitiria termos de grau no máximo 1 em y (pois p(x)\,y-q(x) é afim em y, grau \le 1). Portanto não existe escolha de funções p(x) e q(x) que torne essa identidade verdadeira para todas as possíveis valores de y que aparecem nas soluções: não se pode fazer o coeficiente de y^{2} virar 0. Em termos simples: uma função quadrática em y (com coeficiente de y^{2} não nulo) jamais pode ser igual, para todos os y, a uma função afim em y.
Uma forma mais direta de ver a contradição é: se existissem p e q tais que para todos x e y relevantes
y^{2}=q(x)-p(x)\,y,
então, visto como polinômio em y, a equação implicaria que o coeficiente de y^{2} é simultaneamente 1 (do lado esquerdo) e 0 (do lado direito), o que é impossível. Logo, não existem p(x) e q(x) que façam a equação ser linear.
Portanto \dfrac{dy}{dx}=y^{2} não é uma equação linear.

Passo 6

Conclusão didática e motivadora: encontrei uma equação que é separável (pode ser resolvida por separação de variáveis) e ao mesmo tempo não é linear. Isso mostra que a afirmação “Toda EDO de variáveis separáveis é linear” é falsa. Vale anotar mentalmente: há interseção entre as duas classes (por exemplo \dfrac{dy}{dx}=a(x)\,y é ao mesmo tempo linear homogênea e separável), mas uma não contém a outra; existem separáveis não-lineares (como \dfrac{dy}{dx}=y^{2}) e existem lineares que não são separáveis (por exemplo \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) com q\neq 0 nem sempre é separável).
Força nos estudos — você já derrotou uma armadilha comum: confundir “pode separar” com “é linear”. Continuando assim dá pra encarar a prova com mais confiança!

Resposta

Falso. Contraexemplo: \dfrac{dy}{dx}=y^{2} (é separável, pois \dfrac{dy}{y^{2}}=dx, mas não é linear).

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