Se verdadeiro, prove. Se falso dê um contra exemplo.
Toda EDO de variáveis separáveis é linear.
Toda EDO de variáveis separáveis é linear.
Passo 1
O enunciado pede que eu avalie a afirmação: “Toda EDO de variáveis separáveis é linear.”
Devo responder se a afirmação é verdadeira — e provar — ou se é falsa — e então dar um contraexemplo.
Não há outras informações numéricas fornecidas; o objetivo é analisar a afirmação em termos gerais e produzir uma prova ou um contraexemplo.
Devo responder se a afirmação é verdadeira — e provar — ou se é falsa — e então dar um contraexemplo.
Não há outras informações numéricas fornecidas; o objetivo é analisar a afirmação em termos gerais e produzir uma prova ou um contraexemplo.
Passo 2
Vou começar lembrando, com calma e de forma didática, o que significam as duas propriedades envolvidas (isso é essencial para entender por que a afirmação pode ou não ser verdadeira).
Definição de EDO de variáveis separáveis (ordem 1): uma equação diferencial de primeira ordem é dita separável se pode ser escrita na forma
onde
depende só de
e
depende só de
. A ideia prática é que dá para “separar” os termos com
num lado e os termos com
no outro, como
e integrar ambos os lados.
Definição de EDO linear de primeira ordem: uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
onde
e
são funções que dependem só de
. Note que nesta forma a dependência de
é linear (aparece
elevado à potência
, sem produtos
,
, etc.).
Observação rápida (intuição): a função do lado direito de uma EDO linear é uma função afim em
(isto é, da forma
), enquanto numa EDO separável o lado direito é um produto de uma função de
por uma função de
; essas classes se sobrepõem em alguns casos (por exemplo
é linear e também separável), mas não é óbvio que uma fique contida na outra.
Passo 3
Estratégia: mostrar que a afirmação é falsa, fornecendo um contraexemplo simples — uma equação que é separável mas que não é linear. Vou escolher uma equação bem básica e que dá pouco trabalho para demonstrar as propriedades pedidas.
Considere a EDO
Vou primeiro mostrar que ela é separável.
Passo 4
Verificando separabilidade da equação
.
Escreve-se
ou seja, aqui
(função que depende apenas de
) e
(função que depende apenas de
). Assim a equação está na forma
, portanto é separável.
Para ilustrar o procedimento de resolução (que confirma que é separável), separa-se as variáveis:
Integrando ambos os lados (com cuidado: integrais indefinidas),
A integral à esquerda é
(mais constante), então obtemos
ou seja
que é a família de soluções (mais a solução constante
, que também satisfa z
). Tudo consistente com separabilidade.
Passo 5
Agora vou mostrar que essa mesma equação não é linear. Lembrando a forma geral da linear de primeira ordem:
Se a equação
fosse linear, então existiriam funções
e
tais que, para todo
e para as funções
relevantes, as duas equações fossem equivalentes. Reescrevendo
de modo a comparar com a forma linear:
Comparando com
, veria-se que precisaríamos ter
ou equivalentemente
A chave aqui é olhar a dependência em
: o lado esquerdo desta igualdade, visto como função em
(com
fixo), é um polinômio de grau
em
cujo coeficiente de
é
. Já o lado que vem de uma equação linear em
só permitiria termos de grau no máximo
em
(pois
é afim em
, grau
). Portanto não existe escolha de funções
e
que torne essa identidade verdadeira para todas as possíveis valores de
que aparecem nas soluções: não se pode fazer o coeficiente de
virar
. Em termos simples: uma função quadrática em
(com coeficiente de
não nulo) jamais pode ser igual, para todos os
, a uma função afim em
.
Uma forma mais direta de ver a contradição é: se existissem
e
tais que para todos
e
relevantes
então, visto como polinômio em
, a equação implicaria que o coeficiente de
é simultaneamente
(do lado esquerdo) e
(do lado direito), o que é impossível. Logo, não existem
e
que façam a equação ser linear.
Portanto
não é uma equação linear.
Passo 6
Conclusão didática e motivadora: encontrei uma equação que é separável (pode ser resolvida por separação de variáveis) e ao mesmo tempo não é linear. Isso mostra que a afirmação “Toda EDO de variáveis separáveis é linear” é falsa. Vale anotar mentalmente: há interseção entre as duas classes (por exemplo
é ao mesmo tempo linear homogênea e separável), mas uma não contém a outra; existem separáveis não-lineares (como
) e existem lineares que não são separáveis (por exemplo
com
nem sempre é separável).
Força nos estudos — você já derrotou uma armadilha comum: confundir “pode separar” com “é linear”. Continuando assim dá pra encarar a prova com mais confiança!
Resposta
Falso. Contraexemplo:
(é separável, pois
, mas não é linear).