13-Mostre que a EDO
não é homogênea. Reduza-a a uma EDO homogênea e determine sua solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
Pede três coisas:
- Mostrar que a EDO não é homogênea.
- Reduzir a EDO a uma EDO homogênea (ou seja, encontrar uma mudança de variáveis que elimine os termos constantes).
- Determinar a solução geral (resolver a EDO reduzida e voltar às variáveis originais).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Numerador linear em
com termo constante . - Denominador linear em
com termo constante . - A equação está escrita na forma explícita
.
Passo 2
Mostrar que a EDO não é homogênea.
Lembrete prático: uma função racional
é homogênea se
e
são formas homogêneas do mesmo grau (por exemplo, ambos lineares sem termos constantes). Aqui os polinômios são
Observa-se que ambos têm termos lineares em
mas também têm constantes (
e
). Essas constantes impedem homogeneidade: se multiplicarmos
por um fator
teríamos
por causa do
. Portanto a EDO NÃO é homogênea.
Passo 3
Ideia de redução: eliminar os termos constantes por uma translação no plano
.
Procuramos constantes
tais que, ao definir
os termos constantes nos polinômios desapareçam, ou seja, escrevendo
em
fiquem proporcionais a expressões homogêneas (sem termo constante). Substituindo
,
obtemos os termos constantes nas expressões:
Queremos anular as partes constantes:
Resolve-se o sistema para
. Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Então
. Logo a translação procurada é
Passo 4
Aplicar a translação e obter a EDO homogênea.
Observação útil: como
e
, tem-se
pois adicionar constantes não altera derivadas (derivada de
em relação a
é igual à derivada de
em relação a
).
Substituindo
,
(ou diretamente
,
) no lado direito:
Portanto a EDO em
fica
Agora o numerador e o denominador são formas lineares sem termos constantes: a função é homogênea de grau
quando escrita como função de
. Ou seja, a EDO foi reduzida a uma EDO homogênea.
Passo 5
Resolver a EDO homogênea por substituição
.
Defina
Então
(porque pela regra do produto, d(uX)/dX = u + X du/dX). Substituindo na EDO:
Isolando o termo com
,
Fazendo a subtração com denominador comum
:
Logo
Passo 6
Separar variáveis e integrar.
Colocando todos os termos em
num lado e
no outro:
Agora integramos ambos os lados. Observação:
. Vamos decompor em frações parciais:
procuramos tais que
procuramos
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes:
Resolvendo: somando as duas equações
. Então
.
Portanto
Integrando:
No lado direito temos
. Igualando e reunindo constantes:
Multiplicando por
e exponenciando (reagrupando os logaritmos):
onde
é constante arbitrária (absorveu sinais e
).
Passo 7
Voltar às variáveis originais e identificar soluções particulares.
Recordando
,
,
, temos
Simplificando a fração:
Cancelando
(caso
, isto é,
):
Substituindo
e
,
que é a forma implícita da solução geral (constante
).
Além disso, devemos verificar soluções singulares que surgem quando
ou
(esses valores anulam fatores no processo de separação e correspondem a retas que podem ser soluções particulares). Essas retas, em variáveis originais, são:
Verificação rápida: substituindo
e
na EDO original confirma que ambas são soluções (retas com derivadas constantes que satisfazem a equação).
Observação final sobre
(
): ao cancelar
na simplificação assumimos
. A linha
não representa uma função
e, portanto, não é uma solução do tipo função
no sentido clássico aqui; as soluções encontradas cobrem os casos relevantes como funções.