13-Mostre que a EDO \frac{d y}{d x}=\frac{2 y-x+5}{2 x-y-4} não é homogênea. Reduza-a a uma EDO homogênea e determine sua solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x+5}{2x-y-4}.
Pede três coisas:
  • Mostrar que a EDO não é homogênea.
  • Reduzir a EDO a uma EDO homogênea (ou seja, encontrar uma mudança de variáveis que elimine os termos constantes).
  • Determinar a solução geral (resolver a EDO reduzida e voltar às variáveis originais).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numerador linear em x,y com termo constante +5.
  • Denominador linear em x,y com termo constante -4.
  • A equação está escrita na forma explícita dy/dx = f(x,y).

Passo 2

Mostrar que a EDO não é homogênea.
Lembrete prático: uma função racional \dfrac{P(x,y)}{Q(x,y)} é homogênea se P e Q são formas homogêneas do mesmo grau (por exemplo, ambos lineares sem termos constantes). Aqui os polinômios são
P(x,y)=2y-x+5,\qquad Q(x,y)=2x-y-4.
Observa-se que ambos têm termos lineares em x,y mas também têm constantes ( +5 e -4). Essas constantes impedem homogeneidade: se multiplicarmos (x,y) por um fator t teríamos P(tx,ty)=t(2y-x)+5\neq tP(x,y) por causa do +5. Portanto a EDO NÃO é homogênea.

Passo 3

Ideia de redução: eliminar os termos constantes por uma translação no plano (x,y).
Procuramos constantes h,k tais que, ao definir
X = x - h,\qquad Y = y - k,
os termos constantes nos polinômios desapareçam, ou seja, escrevendo P,Q em X,Y fiquem proporcionais a expressões homogêneas (sem termo constante). Substituindo x=X+h, y=Y+k obtemos os termos constantes nas expressões:
P = 2(Y+k) - (X+h) +5 = (2Y - X) + (2k - h +5),
Q = 2(X+h) - (Y+k) -4 = (2X - Y) + (2h - k -4).
Queremos anular as partes constantes:
2k - h +5 = 0,\qquad 2h - k -4 = 0.
Resolve-se o sistema para h,k. Da segunda equação k = 2h -4. Substituindo na primeira:
2(2h-4) - h +5 = 0 \Rightarrow 4h -8 -h +5 = 0 \Rightarrow 3h -3 = 0 \Rightarrow h = 1.
Então k = 2\cdot1 -4 = -2. Logo a translação procurada é
X = x - 1,\qquad Y = y + 2.

Passo 4

Aplicar a translação e obter a EDO homogênea.
Observação útil: como Y = y + 2 e X = x - 1, tem-se
\frac{dy}{dx}=\frac{dY}{dX}
pois adicionar constantes não altera derivadas (derivada de y em relação a x é igual à derivada de Y em relação a X).
Substituindo x=X+1, y=Y-2 (ou diretamente Y=y+2, X=x-1) no lado direito:
2y-x+5 = 2(Y-2) - (X+1) +5 = 2Y -4 -X -1 +5 = 2Y - X,
2x-y-4 = 2(X+1) - (Y-2) -4 = 2X +2 -Y +2 -4 = 2X - Y.
Portanto a EDO em (X,Y) fica
\frac{dY}{dX} = \frac{2Y - X}{2X - Y}.
Agora o numerador e o denominador são formas lineares sem termos constantes: a função é homogênea de grau 0 quando escrita como função de Y/X. Ou seja, a EDO foi reduzida a uma EDO homogênea.

Passo 5

Resolver a EDO homogênea por substituição u = \dfrac{Y}{X}.
Defina
u = \frac{Y}{X}\qquad(\text{logo }Y = uX).
Então
\frac{dY}{dX} = u + X\frac{du}{dX}
(porque pela regra do produto, d(uX)/dX = u + X du/dX). Substituindo na EDO:
u + X\frac{du}{dX} = \frac{2(uX) - X}{2X - uX} = \frac{2u - 1}{2 - u}.
Isolando o termo com du/dX,
X\frac{du}{dX} = \frac{2u - 1}{2 - u} - u.
Fazendo a subtração com denominador comum 2-u:
\frac{2u - 1 - u(2 - u)}{2 - u} = \frac{2u -1 -2u + u^{2}}{2 - u} = \frac{u^{2} -1}{2 - u}.
Logo
X\frac{du}{dX} = \frac{u^{2} -1}{2 - u}.

Passo 6

Separar variáveis e integrar.
Colocando todos os termos em u num lado e X no outro:
\frac{2 - u}{u^{2} -1}\,du = \frac{dX}{X}.
Agora integramos ambos os lados. Observação: u^{2}-1=(u-1)(u+1). Vamos decompor em frações parciais:
procuramos A,B tais que
\frac{2 - u}{(u-1)(u+1)}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}.
Multiplicando por (u-1)(u+1):
2 - u = A(u+1)+B(u-1)=(A+B)u+(A-B).
Comparando coeficientes:
A+B=-1,\qquad A-B=2.
Resolvendo: somando as duas equações 2A=1\Rightarrow A=\tfrac12. Então B=-1-A=-\tfrac32.
Portanto
\frac{2 - u}{u^{2} -1}=\frac{1/2}{u-1}-\frac{3/2}{u+1}.
Integrando:
\int\frac{2 - u}{u^{2} -1}\,du = \frac{1}{2}\ln|u-1| - \frac{3}{2}\ln|u+1| + C.
No lado direito temos \int \dfrac{dX}{X}=\ln|X|+C. Igualando e reunindo constantes:
\frac{1}{2}\ln|u-1| - \frac{3}{2}\ln|u+1| = \ln|X| + C.
Multiplicando por 2 e exponenciando (reagrupando os logaritmos):
\ln\!\left(\frac{|u-1|}{|u+1|^{3}}\right)=2\ln|X|+C' \quad\Rightarrow\quad \frac{u-1}{(u+1)^{3}} = C X^{2},
onde C é constante arbitrária (absorveu sinais e e^{C'}).

Passo 7

Voltar às variáveis originais e identificar soluções particulares.
Recordando u=\dfrac{Y}{X}, Y=y+2, X=x-1, temos
\frac{\dfrac{Y}{X}-1}{\big(\dfrac{Y}{X}+1\big)^{3}} = C X^{2}.
Simplificando a fração:
\frac{Y - X}{(Y + X)^{3}} \, X^{2} = C X^{2}.
Cancelando X^{2} (caso X\neq 0, isto é, x\neq 1):
\frac{Y - X}{(Y + X)^{3}} = C.
Substituindo Y=y+2 e X=x-1,
\frac{y - x +3}{(x + y +1)^{3}} = C,
que é a forma implícita da solução geral (constante C\in\mathbb{R}).
Além disso, devemos verificar soluções singulares que surgem quando u=1 ou u=-1 (esses valores anulam fatores no processo de separação e correspondem a retas que podem ser soluções particulares). Essas retas, em variáveis originais, são:
  • u=1 \Rightarrow \dfrac{Y}{X}=1 \Rightarrow Y=X \Rightarrow y+2 = x-1 \Rightarrow y = x -3.
  • u=-1 \Rightarrow \dfrac{Y}{X}=-1 \Rightarrow Y=-X \Rightarrow y+2 = -(x-1) \Rightarrow y = -x -1.
Verificação rápida: substituindo y=x-3 e y=-x-1 na EDO original confirma que ambas são soluções (retas com derivadas constantes que satisfazem a equação).
Observação final sobre x=1 ( X=0): ao cancelar X^{2} na simplificação assumimos X\neq0. A linha x=1 não representa uma função y(x) e, portanto, não é uma solução do tipo função y(x) no sentido clássico aqui; as soluções encontradas cobrem os casos relevantes como funções.

Resposta

\displaystyle \frac{y - x +3}{(x + y +1)^{3}} = C (solução geral implícita)
\displaystyle y = x - 3 (solução particular)
\displaystyle y = -x -1 (solução particular)

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