8-Mostre que se y(t)=\Phi(t) é uma solução de y^{\prime}+p(t) y=0 então y(t)=c . \Phi(t) é também uma solução para qualquer valor da cosntante c.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'(t)+p(t)\,y(t)=0
e informa que y(t)=\Phi(t) é uma solução dessa equação, ou seja, que a função \Phi satisfaz
\Phi'(t)+p(t)\,\Phi(t)=0
para todo t no intervalo considerado. A pergunta é: provar que, para qualquer constante c, a função y(t)=c\,\Phi(t) também é solução da mesma equação.

Passo 2

O que significa ser solução?
Significa que, ao substituir a função candidata y(t) na equação, a igualdade fica verdadeira para todo t do domínio. Em símbolos: se y é solução então
y'(t)+p(t)\,y(t)=0
para todo t do intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y(t)=c\,\Phi(t). Antes disso, lembro do fato básico sobre derivadas: se u(t) e v(t) são funções, a regra do produto diz
( u(t)\,v(t) )' = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t).
No nosso caso u(t)=c é uma constante, logo u'(t)=0. Aplicando a regra do produto temos
\big(c\,\Phi(t)\big)' = 0\cdot\Phi(t) + c\cdot\Phi'(t)=c\,\Phi'(t).

Passo 4

Substituímos y(t)=c\,\Phi(t) e y'(t)=c\,\Phi'(t) na equação diferencial:
y'(t)+p(t)\,y(t)=c\,\Phi'(t)+p(t)\,c\,\Phi(t).
Fatorando c do lado direito obtemos
c\big(\Phi'(t)+p(t)\,\Phi(t)\big).
Mas sabemos (pela hipótese de que \Phi é solução) que
\Phi'(t)+p(t)\,\Phi(t)=0.
Portanto
y'(t)+p(t)\,y(t)=c\cdot 0 = 0,
ou seja, a igualdade da equação diferencial é satisfeita por y(t)=c\,\Phi(t).

Passo 5

Conclusão imediata: para qualquer constante c (real, ou do corpo considerado), a função y(t)=c\,\Phi(t) é solução de \,y'+p(t)y=0. Observações úteis: se c=0 obtém-se a solução trivial y\equiv0; se \Phi for não nula em algum ponto, então variações de c escalonam a solução sem perder a propriedade de solução. Isso é consequência da linearidade e homogeneidade da operação L[y]=y'+p(t)y: L[c\Phi]=c\,L[\Phi].

Passo 6

Um exemplo concreto para fixar a ideia: escolha p(t)=1 e \Phi(t)=e^{-t}. Verifica-se
\Phi'(t)+p(t)\,\Phi(t)=(-e^{-t})+1\cdot e^{-t}=0,
logo \Phi é solução. Para qualquer constante c,
y(t)=c\,e^{-t}
é também solução, pois sua derivada é y'(t)= -c\,e^{-t} e então y'(t)+y(t)=0.

Resposta

y(t)=c\,\Phi(t) é solução de y'+p(t)y=0 para qualquer constante c.

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