8-Mostre que se
é uma solução de
então
é também uma solução para qualquer valor da cosntante
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que
é uma solução dessa equação, ou seja, que a função
satisfaz
para todo
no intervalo considerado. A pergunta é: provar que, para qualquer constante
, a função
também é solução da mesma equação.
Passo 2
O que significa ser solução?
Significa que, ao substituir a função candidata na equação, a igualdade fica verdadeira para todo
do domínio. Em símbolos: se
é solução então
Significa que, ao substituir a função candidata
para todo
do intervalo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Antes disso, lembro do fato básico sobre derivadas: se
e
são funções, a regra do produto diz
No nosso caso
é uma constante, logo
. Aplicando a regra do produto temos
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
Fatorando
do lado direito obtemos
Mas sabemos (pela hipótese de que
é solução) que
Portanto
ou seja, a igualdade da equação diferencial é satisfeita por
.
Passo 5
Conclusão imediata: para qualquer constante
(real, ou do corpo considerado), a função
é solução de
. Observações úteis: se
obtém-se a solução trivial
; se
for não nula em algum ponto, então variações de
escalonam a solução sem perder a propriedade de solução. Isso é consequência da linearidade e homogeneidade da operação
:
.
Passo 6
Um exemplo concreto para fixar a ideia: escolha
e
. Verifica-se
logo
é solução. Para qualquer constante
,
é também solução, pois sua derivada é
e então
.