Se verdadeiro, prove. Se falso, dê um contra-exemplo.
Se x é um número real diferente de zero, então (-x) é negativo.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se x é um número real diferente de zero, então (-x) é negativo.”\n
O que é dado: x é um número real e \;x\neq0.\n
O que se pede: decidir se a afirmação é verdadeira; se for verdadeira, provar; se for falsa, apresentar um contra‑exemplo.

Passo 2

Vamos lembrar definições básicas (bem devagar e com calma):\n
  • Dizer que um número y é negativo significa que y<0.\n
  • Dizer que um número y é positivo significa que y>0.\n
  • A afirmação é do tipo “para todo x\neq0 vale tal propriedade”. Para refutar uma afirmação universal basta encontrar um único x que viole a propriedade (um contra‑exemplo).

Passo 3

Pensamento estratégico: em vez de tentar provar algo que parece muito forte para todos os x\neq0, vamos procurar um exemplo de x tal que (-x) não seja negativo. Se encontrarmos um x com (-x)\ge0 (na prática (-x)>0), isso já derruba a afirmação.

Passo 4

Escolhemos um exemplo simples: \;x=-1.\n
Verificações: \;x=-1 é um número real e \;x\neq0.\n
Calcule (-x): \;(-x) = -(-1) = 1.\n
Agora compare com zero: \;1>0, isto é, (-x) é positivo, não negativo. Portanto este x quebra a afirmação.

Passo 5

Explicação geral (para você aprender a raciocinar na prova):\n
  • Se \;x>0, multiplicando a desigualdade por -1 (propriedade das desigualdades: multiplicar por número negativo inverte o sinal) obtemos \;-x<0. Nesse caso (-x) é negativo.\n
  • Se \;x<0, multiplicando por -1 obtemos \;-x>0. Nesse caso (-x) é positivo.\n
    Logo, para x\neq0 existem exatamente dois casos: se x>0 então (-x) é negativo; se x<0 então (-x) é positivo. A afirmação “para todo x\neq0, (-x) é negativo” ignora o caso x<0, por isso é falsa.

Passo 6

Resumo e moral para a prova: para refutar proposições universais busque um contra‑exemplo simples (números inteiros pequenos como -1,1,2 são ótimos). Para provar proposições envolvendo sinais use a propriedade de que multiplicar desigualdades por -1 inverte o sentido da desigualdade.

Resposta

Falso. Contra‑exemplo: x=-1 e então (-x)=1>0, logo (-x) não é negativo.

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