Se verdadeiro, prove. Se falso, dê um contra-exemplo.
Se x é um número real diferente de zero, então (-x) é negativo.
Se x é um número real diferente de zero, então (-x) é negativo.
Passo 1
O enunciado afirma: “Se
é um número real diferente de zero, então
é negativo.”\n
O que é dado: é um número real e
.\n
O que se pede: decidir se a afirmação é verdadeira; se for verdadeira, provar; se for falsa, apresentar um contra‑exemplo.
O que é dado:
O que se pede: decidir se a afirmação é verdadeira; se for verdadeira, provar; se for falsa, apresentar um contra‑exemplo.
Passo 2
Vamos lembrar definições básicas (bem devagar e com calma):\n
- Dizer que um número
é negativo significa que .\n - Dizer que um número
é positivo significa que .\n - A afirmação é do tipo “para todo
vale tal propriedade”. Para refutar uma afirmação universal basta encontrar um único que viole a propriedade (um contra‑exemplo).
Passo 3
Pensamento estratégico: em vez de tentar provar algo que parece muito forte para todos os
, vamos procurar um exemplo de
tal que
não seja negativo. Se encontrarmos um
com
(na prática
), isso já derruba a afirmação.
Passo 4
Escolhemos um exemplo simples:
.\n
Verificações: é um número real e
.\n
Calcule :
.\n
Agora compare com zero: , isto é,
é positivo, não negativo. Portanto este
quebra a afirmação.
Verificações:
Calcule
Agora compare com zero:
Passo 5
Explicação geral (para você aprender a raciocinar na prova):\n
- Se
, multiplicando a desigualdade por (propriedade das desigualdades: multiplicar por número negativo inverte o sinal) obtemos . Nesse caso é negativo.\n - Se
, multiplicando por obtemos . Nesse caso é positivo.\n
Logo, paraexistem exatamente dois casos: se então é negativo; se então é positivo. A afirmação “para todo , é negativo” ignora o caso , por isso é falsa.
Passo 6
Resumo e moral para a prova: para refutar proposições universais busque um contra‑exemplo simples (números inteiros pequenos como
são ótimos). Para provar proposições envolvendo sinais use a propriedade de que multiplicar desigualdades por
inverte o sentido da desigualdade.
Resposta
Falso. Contra‑exemplo:
e então
, logo
não é negativo.