(sorteio ix)Esboce o gráfico da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}+1|, com domínio em \mathbf{R} e resolva a inequação |\mathrm{x}+1|<2.

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}(\mathrm{x}) = |\mathrm{x}+1| com domínio em \mathbf{\mathbb{R}} e pede duas coisas:
  1. Esboçar o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}).
  2. Resolver a inequação |\mathrm{x}+1|<2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão dentro do valor absoluto é \mathrm{x}+1.
  • O domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é \mathbb{R}.
  • A inequação envolve um valor absoluto estritamente menor que 2.

Passo 2

Definição e transformação útil do valor absoluto (aula rápida): para qualquer número real u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui vamos aplicar essa definição com u=\mathrm{x}+1\]. Isso significa que o comportamento de \(|\mathrm{x}+1| muda conforme o sinal de \mathrm{x}+1, ou seja, conforme \mathrm{x} é maior ou igual a -1 ou menor que -1.]

Passo 3

Escrever a função como função por partes (isso facilita desenhar e também resolver inequações):
\mathrm{f}(\mathrm{x}) = |\mathrm{x}+1| = \begin{cases} \mathrm{x}+1, & \text{se } \mathrm{x}\ge -1,\\[4pt] -(\mathrm{x}+1) = -\mathrm{x}-1, & \text{se } \mathrm{x}< -1. \end{cases}
Explicando cada parte:
  • Para \mathrm{x}\ge -1: a função é a reta \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1. Essa reta tem inclinação 1 (sobe 1 unidade em y para cada 1 em x) e, por exemplo, passa por (0,1).
  • Para \mathrm{x}< -1: a função é a reta \mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}-1. Essa reta tem inclinação -1 (desce 1 em y para cada 1 em x) e, por exemplo, passa por (-2,1).]

Passo 4

Determinar pontos-chave para o esboço (vamos fazer uma tabelinha mental):
  • Em \mathrm{x}=-1: \mathrm{f}(-1)=|{-1}+1|=|0|=0. Esse é o vértice da forma em V.
  • Em \mathrm{x}=0: \mathrm{f}(0)=|0+1|=1.
  • Em \mathrm{x}=1: \mathrm{f}(1)=|1+1|=2.
  • Em \mathrm{x}=-2: \mathrm{f}(-2)=|-2+1|=1.
  • Em \mathrm{x}=-3: \mathrm{f}(-3)=2.
Com esses pontos já sabemos como traçar:
  • Para \mathrm{x}\ge -1 desenhe a reta que passa por (-1,0) com inclinação +1 (vai subindo para a direita).
  • Para \mathrm{x}< -1 desenhe a reta que passa por (-1,0) com inclinação -1 (vai subindo para a esquerda também, formando o outro braço do V).
    Observação: os dois ramos se encontram em (-1,0) e a função é contínua ali. À medida que |\mathrm{x}|\to\infty, \mathrm{f}(\mathrm{x})\to\infty.

Passo 5

Resolver a inequação por uma técnica padrão (forma composta): para qualquer u e qualquer a>0 vale
|u|<a \quad\Longleftrightarrow\quad -a < u < a.
Aplicando com u=\mathrm{x}+1 e a=2:
-2 < \mathrm{x}+1 < 2.
Agora isolamos \mathrm{x} subtraindo 1 de todas as parcelas:
-2-1 < \mathrm{x} < 2-1 \quad\Longrightarrow\quad -3 < \mathrm{x} < 1.
Logo a solução é o intervalo aberto ( -3,\,1 ). Expliquei por que os extremos não entram: se \mathrm{x}=-3 ou \mathrm{x}=1 temos |\mathrm{x}+1|=2, e a desigualdade pede estritamente menor que 2.

Passo 6

Verificação alternativa (por partes) — confere que o resultado está certo:
  • Se \mathrm{x}\ge -1, a inequação vira \mathrm{x}+1<2 \Rightarrow \mathrm{x}<1. Combinando com \mathrm{x}\ge -1 obtemos -1\le \mathrm{x}<1.
  • Se \mathrm{x}< -1, a inequação vira -\mathrm{x}-1<2 \Rightarrow -\mathrm{x}<3 \Rightarrow \mathrm{x}>-3. Combinando com \mathrm{x< -1} obtemos -3<\mathrm{x}<-1.
    Fazendo a união das duas partes: (-3,-1)\cup[-1,1) = (-3,1). Está consistente com o passo anterior. Checagem numérica rápida: \mathrm{x}=0 pertence e |0+1|=1<2; \mathrm{x}=-3 não pertence e |-3+1|=2\not<2.

Resposta

Esboço do gráfico: gráfico em V com vértice em (-1,0); ramo para \mathrm{x}\ge -1 dado pela reta \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1 (inclinação +1) e ramo para \mathrm{x}< -1 dado pela reta \mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}-1 (inclinação -1).
Solução da inequação: (-3,\,1)

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