(sorteio ix)Esboce o gráfico da função
, com domínio em
e resolva a inequação
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio em
e pede duas coisas:
- Esboçar o gráfico de
. - Resolver a inequação
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão dentro do valor absoluto é
. - O domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é
. - A inequação envolve um valor absoluto estritamente menor que
.
Passo 2
Definição e transformação útil do valor absoluto (aula rápida): para qualquer número real
Aqui vamos aplicar essa definição com
muda conforme o sinal de
, ou seja, conforme
é maior ou igual a
ou menor que
.]
Passo 3
Escrever a função como função por partes (isso facilita desenhar e também resolver inequações):
Explicando cada parte:
- Para
: a função é a reta . Essa reta tem inclinação (sobe 1 unidade em para cada 1 em ) e, por exemplo, passa por . - Para
: a função é a reta . Essa reta tem inclinação (desce 1 em para cada 1 em ) e, por exemplo, passa por .]
Passo 4
Determinar pontos-chave para o esboço (vamos fazer uma tabelinha mental):
- Em
: . Esse é o vértice da forma em V. - Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
Com esses pontos já sabemos como traçar:
- Para
desenhe a reta que passa por com inclinação (vai subindo para a direita). - Para
desenhe a reta que passa por com inclinação (vai subindo para a esquerda também, formando o outro braço do V).
Observação: os dois ramos se encontram eme a função é contínua ali. À medida que , .
Passo 5
Resolver a inequação por uma técnica padrão (forma composta): para qualquer
e qualquer
vale
Aplicando com
e
:
Agora isolamos
subtraindo
de todas as parcelas:
Logo a solução é o intervalo aberto
. Expliquei por que os extremos não entram: se
ou
temos
, e a desigualdade pede estritamente menor que
.
Passo 6
Verificação alternativa (por partes) — confere que o resultado está certo:
- Se
, a inequação vira . Combinando com obtemos . - Se
, a inequação vira . Combinando com obtemos .
Fazendo a união das duas partes:. Está consistente com o passo anterior. Checagem numérica rápida: pertence e ; não pertence e .
Resposta
Esboço do gráfico: gráfico em V com vértice em
; ramo para
dado pela reta
(inclinação
) e ramo para
dado pela reta
(inclinação
).
Solução da inequação:
Solução da inequação: