Se verdadeiro, prove. Se falso, dê um contra-exemplo.
Se x é um número real
, então
.
Se x é um número real
Passo 1
O enunciado pede que avaliem se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, que se prove ou dê um contra-exemplo.
Afirmação dada: “Se
é um número real e
, então
.”
Informações fornecidas:
-
é um número real. - A hipótese (antecedente) é
. - A conclusão (consequente) é
.
O objetivo: decidir se a implicação "se
então
" é verdadeira para todo
. Se for verdadeira, provar; se for falsa, apresentar um contra-exemplo.
Passo 2
Breve lembrete lógico (útil na prova): uma afirmação do tipo "para todo
, se
então
" é falsa se existe pelo menos um
tal que
é verdadeira e
é falsa. Ou seja, para refutar a implicação basta encontrar um contra-exemplo com antecedente verdadeiro e consequente falso. Para provar que a implicação vale para todos, seria preciso mostrar a implicação para um
arbitrário (método direto) ou equivalente.
Passo 3
Vamos estudar a desigualdade do consequente para saber para quais
vale
. Começamos transformando a desigualdade:
Expliquei cada passo: passamos tudo para um lado para ter zero do outro lado; fatoramos
como diferença de quadrados; e agora temos um produto
menor que zero.
Passo 4
Interpretando
: um produto é negativo quando os fatores têm sinais opostos. Portanto devemos ter uma das duas situações:
-
e , ou -
e .
A segunda situação é impossível porque não existe
com
e simultaneamente
. A primeira situação dá:
e
Juntando as duas obtemos
Logo a desigualdade
é verdadeira exatamente para os
que satisfazem
. Outra forma de dizer é que
Passo 5
Comparemos agora a condição do enunciado (
) com a condição necessária e suficiente para
(que é
). A hipótese
é mais fraca: qualquer
com
inclui números menores ou iguais a
. Para esses
temos
, então o consequente
falha.
Passo 6
Apresento contra-exemplos concretos (basta um, mas mostro dois simples):
-
Tome
. Verificações:
(antecedente verdadeiro) e
, e (consequente falso).
Portanto a implicação falha para. -
Tome
. Verificações:
(antecedente verdadeiro) e
, e (consequente falso, pois a desigualdade é estrita).
Portanto também é contra-exemplo.
Um único contra-exemplo já basta para concluir que a afirmação é falsa.
Passo 7
Comentário didático final para a prova: para decidir rapidamente em uma prova se uma implicação universal é falsa, procure valores extremos ou sinais opostos (aqui escolher
funciona). Se tivesse que provar a versão correta da afirmação, poderíamos afirmar: "Se
então
" e provar isso exatamente pela análise acima.
Resposta
Falso. Contra-exemplo:
, pois
e
.