Se verdadeiro, prove. Se falso, dê um contra-exemplo.
Se x é um número real \mathrm{e} \mathrm{x}<1, então \mathrm{x}^{2}<1.

Passo 1

O enunciado pede que avaliem se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, que se prove ou dê um contra-exemplo.
Afirmação dada: “Se x é um número real e x<1, então x^{2}<1.”
Informações fornecidas:
  • x é um número real.
  • A hipótese (antecedente) é x<1.
  • A conclusão (consequente) é x^{2}<1.
O objetivo: decidir se a implicação "se x<1 então x^{2}<1" é verdadeira para todo x\in\mathbb{R}. Se for verdadeira, provar; se for falsa, apresentar um contra-exemplo.

Passo 2

Breve lembrete lógico (útil na prova): uma afirmação do tipo "para todo x, se A(x) então B(x)" é falsa se existe pelo menos um x tal que A(x) é verdadeira e B(x) é falsa. Ou seja, para refutar a implicação basta encontrar um contra-exemplo com antecedente verdadeiro e consequente falso. Para provar que a implicação vale para todos, seria preciso mostrar a implicação para um x arbitrário (método direto) ou equivalente.

Passo 3

Vamos estudar a desigualdade do consequente para saber para quais x vale x^{2}<1. Começamos transformando a desigualdade:
x^{2}<1 \iff x^{2}-1<0 \iff (x-1)(x+1)<0.
Expliquei cada passo: passamos tudo para um lado para ter zero do outro lado; fatoramos x^{2}-1 como diferença de quadrados; e agora temos um produto (x-1)(x+1) menor que zero.

Passo 4

Interpretando (x-1)(x+1)<0: um produto é negativo quando os fatores têm sinais opostos. Portanto devemos ter uma das duas situações:
  • x-1<0 e x+1>0, ou
  • x-1>0 e x+1<0.
A segunda situação é impossível porque não existe x com x-1>0 e simultaneamente x+1<0. A primeira situação dá:
x-1<0 \iff x<1,
e
x+1>0 \iff x>-1.
Juntando as duas obtemos
-1<x<1.
Logo a desigualdade x^{2}<1 é verdadeira exatamente para os x que satisfazem -1<x<1. Outra forma de dizer é que
x^{2}<1 \iff |x|<1.

Passo 5

Comparemos agora a condição do enunciado ( x<1) com a condição necessária e suficiente para x^{2}<1 (que é -1<x<1). A hipótese x<1 é mais fraca: qualquer x com x<1 inclui números menores ou iguais a -1. Para esses x\le -1 temos x^{2}\ge 1, então o consequente x^{2}<1 falha.

Passo 6

Apresento contra-exemplos concretos (basta um, mas mostro dois simples):
  • Tome x=-2. Verificações:
    -2<1 (antecedente verdadeiro) e
    (-2)^{2}=4, e 4\not<1 (consequente falso).
    Portanto a implicação falha para x=-2.
  • Tome x=-1. Verificações:
    -1<1 (antecedente verdadeiro) e
    (-1)^{2}=1, e 1\not<1 (consequente falso, pois a desigualdade é estrita).
    Portanto também é contra-exemplo.
Um único contra-exemplo já basta para concluir que a afirmação é falsa.

Passo 7

Comentário didático final para a prova: para decidir rapidamente em uma prova se uma implicação universal é falsa, procure valores extremos ou sinais opostos (aqui escolher x\le -1 funciona). Se tivesse que provar a versão correta da afirmação, poderíamos afirmar: "Se -1<x<1 então x^{2}<1" e provar isso exatamente pela análise acima.

Resposta

Falso. Contra-exemplo: x=-2, pois -2<1 e (-2)^2=4\not<1.

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