Verdadeiro (V) ou Falso (F)
A integral integral x d xraizx^2+16 pode ser resolvida tanto pela técnica de substituição simples quanto pela técnica de substituição trigonométrica.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a questão: A integral integral x , dxraizx^2+16 pode ser resolvida tanto pela técnica de substituição simples quanto pela técnica de substituição trigonométrica. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição, para entender se isso é verdade ou falso.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar resolver a integral usando substituição simples. Isso geralmente funciona quando conseguimos identificar uma parte da integral que é a derivada de outra.
Vamos definir:
u = x^2 + 16
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = 2x , dx
Isso nos permite reescrever a integral:
integral x , dxraizx^2+16 = 12 integral duraizu
Resolvendo a integral:
12 cdot 2raizu + C = raizu + C = raizx^2 + 16 + C
Então, a substituição simples resolveu a integral perfeitamente.

Passo 3

Agora, vamos resolver a mesma integral usando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando a integral envolve expressões quadráticas sob uma raiz.
Vamos usar:
x = 4tan theta
Então:
dx = 4sec^2 theta , dtheta
Substituindo na integral:
integral 4tan theta cdot 4sec^2 theta , dthetaraiz16tan^2 theta + 16 = integral 16tan theta sec^2 theta , dtheta4sec theta = 4 integral tan theta sec theta , dtheta
Sabemos que:
integral tan theta sec theta , dtheta = sec theta + C
Então:
4sec theta + C
Voltando para x:
sec theta = raizx^2 + 164
Portanto:
4 cdot raizx^2 + 164 + C = raizx^2 + 16 + C
A substituição trigonométrica também resolve a integral com sucesso.

Resposta

Verdadeiro.

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