Verdadeiro
ou falso
, justifique sua resposta.
j)
Se A é uma matriz de ordem n satisfazendo
então
.
j)
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
é uma matriz de ordem
que satisfaz
, então
". Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com propriedades de matrizes e determinantes. Para resolver, precisamos entender o que significa
e como isso se relaciona com o determinante de
.
Passo 2
Primeiro, quando dizemos que
, significa que ao multiplicar a matriz
por ela mesma cinco vezes, o resultado é a matriz zero. Isso caracteriza
como uma matriz nilpotente. Uma matriz é nilpotente se existe algum número inteiro positivo
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com o determinante. Uma propriedade importante dos determinantes é que se uma matriz
é nilpotente, então o determinante de
é zero. Isso ocorre porque todas as matrizes nilpotentes têm zero como único valor próprio, e o determinante de
é igual ao produto dos seus valores próprios. Assim, se
, necessariamente
.
Resposta
Verdadeiro. Se
, então
.