Verdadeiro (V) ou Falso (F)?
(a) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) \Longrightarrow f é contínua em x=a.
(b) Se \lim _{x \rightarrow a}|f(x)| existe, então \lim _{x \rightarrow a} f(x) também existe.
(c) Se \lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=0, então \lim _{x \rightarrow a} f(x)=0.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das três afirmações é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve definição de limite lateral e limite total, definição de continuidade e uso de propriedades de limite com valor absoluto, em particular o Teorema do Confronto.
Passo 2
Analisando (a):
A igualdade
\lim_{x\to a^+} f(x) = \lim_{x\to a^-} f(x)
garante apenas que \lim_{x\to a} f(x)\) existe, mas **não** garante que \(f(a)\) exista ou seja igual a esse valor. Para ser contínua em \(x=a\) é preciso ainda que
\[f(a) = \lim_{x\to a} f(x).
Contraexemplo:
f(x) = \begin{cases} 0, & x \neq a, \\\\ 1, & x = a. \end{cases}
Aqui \lim_{x\to a^\pm} f(x) = 0\] mas \(f(a) = 1 \neq 0. Logo a afirmativa é falsa.
Passo 3
Analisando (b):
Dizer que \lim_{x\to a}|f(x)|\) existe não obriga \(\lim_{x\to a}f(x)\) a existir, pois \(f(x)\) pode oscilar em sinais diferentes mantendo o mesmo módulo. Por exemplo,
\[f(x)= \begin{cases} 1,&x>0,\\\\ -1,&x<0, \end{cases} \quad a=0.
Então \lim_{x\to0}|f(x)|=1\], mas
\(\lim_{x\to0^+}f(x)=1\neq -1=\lim_{x\to0^-}f(x),
portanto \lim_{x\to0}f(x) não existe. A afirmativa é falsa.
Passo 4
Analisando (c):
Se \lim_{x\to a}|f(x)|=0, então para x\neq a vale
-|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|.
Como \lim_{x\to a}(-|f(x)|)=0
e \lim_{x\to a}|f(x)|=0,
pelo Teorema do Confronto segue \lim_{x\to a}f(x)=0.
Logo a afirmativa é verdadeira.