1. Calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x), onde a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é definida por f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-1}{x-1}, \text { se } x \neq 1 \\\\ 3, \text { se } x=1\end{array}\right..
Esta função é contínua em x=1 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-1}{x-1}, & \text{se }x\neq1,\\[6pt] 3, & \text{se }x=1, \end{cases}
e pede primeiro o valor de \lim_{x\to1}f(x) e depois verificar se f é contínua em x=1. Aqui usamos dois conteúdos principais: fatoração de polinômios para calcular o limite e a definição de continuidade (em um ponto, a função é contínua se o limite quando x se aproxima do ponto for igual ao valor da função nesse ponto).]

Passo 2

Para x\neq1, podemos fatorar o numerador:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Assim, para x\neq1,
\frac{x^{2}-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1.
Portanto, a parte que define f(x) para x\neq1 é exatamente x+1.

Passo 3

Como para x\neq1 temos f(x)=x+1, o limite quando x se aproxima de 1 é
\lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 1+1 =2.

Passo 4

A definição de continuidade em x=1 exige que
\lim_{x\to1}f(x)=f(1).
Já calculamos \lim_{x\to1}f(x)=2, mas pelo enunciado f(1)=3. Como 2\neq3, a igualdade necessária não vale.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=2.
A função não é contínua em x=1, pois o limite ( 2) difere de f(1) ( 3).

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