Resolva usando a transformada de LAPLACE:
Questão 1. Resolva:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=1, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, usando transformada de Laplace, a equação diferencial linear de segunda ordem não homogenea
y'' - 6y' + 9y = 1
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
O que vamos usar: transformada de Laplace de derivadas, álgebra de funções de s e transformada inversa.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace de cada termo e lembrando
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0) = s^2Y(s) - 1,
\mathcal{L}\{y'\} = s\,Y(s) - y(0) = s\,Y(s),
\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s},
obtemos
\bigl(s^2Y(s) - 1\bigr)\;-\;6\bigl(sY(s)\bigr)\;+\;9Y(s)\;=\;\frac{1}{s}.

Passo 3

Agrupando Y(s) e isolando:
s^2Y(s) -6sY(s) +9Y(s) \;=\;\frac{1}{s} + 1 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,(s^2 - 6s + 9) \;=\;\frac{s+1}{s}.
Como s^2 -6s +9 = (s-3)^2, segue
Y(s) = \frac{s+1}{s\,(s-3)^2}.

Passo 4

Fazendo frações parciais
\frac{s+1}{s\,(s-3)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-3} + \frac{C}{(s-3)^2}.
Multiplicando por s\,(s-3)^2 e igualando coeficientes encontra-se
A = \frac{1}{9},\quad B = -\frac{1}{9},\quad C = \frac{4}{3}.
Logo
Y(s) = \frac{1/9}{s} \;-\;\frac{1/9}{s-3}\;+\;\frac{4/3}{(s-3)^2}.

Passo 5

Aplica-se a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1/9}{s}\Bigr\} = \tfrac{1}{9},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{1/9}{s-3}\Bigr\} = -\tfrac{1}{9}e^{3t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{4/3}{(s-3)^2}\Bigr\} = \tfrac{4}{3}\,t\,e^{3t}.
Somando, obtemos
y(t) = \frac{1}{9} \;-\;\frac{1}{9}e^{3t} \;+\;\frac{4}{3}\,t\,e^{3t}.

Resposta

y(t) = \frac{1}{9} \;-\;\frac{1}{9}e^{3t} \;+\;\frac{4}{3}\,t\,e^{3t}.

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