1. Responder a cada item, justificando sua resposta:
    Determinar os pontos do gráfico de f, dada por f(x)=x^{3}-3 x, em que a sua ordenada é zero.

Passo 1

O enunciado pede que se determine os pontos do gráfico de f, onde f é dada por f(x)=x^{3}-3x, nos quais a ordenada é zero.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-3x.
  • Pergunta: encontrar todos os pontos (x,y) do gráfico de f tais que a ordenada y vale zero (ou seja, y=0).

Passo 2

O que significa “ordenada é zero”? Significa y=0. Como no gráfico de uma função os pontos têm coordenadas (x,f(x)), podemos traduzir o pedido para uma equação: encontrar todos os x tais que f(x)=0. Depois, cada x encontrado gera o ponto (x,0).

Passo 3

Vamos escrever a equação que precisamos resolver:
f(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}-3x=0.
Isto é uma equação polinomial. Uma técnica simples é fatorar o polinômio: se uma expressão é produto de fatores e o produto é zero, então pelo princípio do produto nulo pelo menos um dos fatores é zero.

Passo 4

Colocamos em evidência o fator comum x:
x^{3}-3x = x\,(x^{2}-3).
Pelo princípio do produto nulo, temos
x\,(x^{2}-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x^{2}-3=0.

Passo 5

Resolver cada caso:
  • Caso 1: x=0. Isso gera o ponto do gráfico (0,0).
  • Caso 2: x^{2}-3=0. Isolando x^{2} obtemos
    x^{2}=3.
    Para tirar raiz quadrada, lembramos que quando x^{2}=a com a>0, as soluções são x=\pm\sqrt{a}. Assim
    x=\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{3}.
    Esses x geram os pontos \bigl(\sqrt{3},0\bigr) e \bigl(-\sqrt{3},0\bigr).

Passo 6

Fazer uma checagem rápida por substituição (para ter certeza, como se deve fazer numa prova):
f(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^{3}-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0,
f(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^{3}-3(-\sqrt{3})=-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=0,
f(0)=0^{3}-3\cdot0=0.
Tudo confere: esses são de fato zeros da função.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida (útil para provas): esses três pontos são as interseções do gráfico de f com o eixo x. Em termos práticos na prova, o procedimento é sempre: (1) igualar f(x) a zero; (2) tentar fatorar; (3) aplicar o produto nulo; (4) resolver as equações resultantes; (5) apresentar os pontos (x,0).

Resposta

(0,0)
\bigl(\sqrt{3},0\bigr)
\bigl(-\sqrt{3},0\bigr)

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