Verifica se são limitadas as sucessões:
a_{n}=7+\frac{(-1)^{n}}{3 n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_{n} = 7 + \frac{(-1)^{n}}{3\,n}
é limitada.
Conteúdo: usaremos a definição de sequência limitada, ou seja, devemos mostrar que existe M>0 tal que
|a_{n}|\le M\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Observe que
\bigl|a_{n}-7\bigr| = \left|\frac{(-1)^{n}}{3\,n}\right| = \frac{1}{3\,n}.
Como n\ge1, temos \frac{1}{3\,n}\le\frac{1}{3}. Logo
\bigl|a_{n}-7\bigr|\le \frac{1}{3}.

Passo 3

A desigualdade acima implica que, para todo n,
7 - \frac{1}{3}\;\le\;a_{n}\;\le\;7 + \frac{1}{3}.
Portanto a_{n} fica sempre dentro do intervalo
\bigl[7 - \tfrac{1}{3},\,7 + \tfrac{1}{3}\bigr].

Passo 4

Escolhendo por exemplo
M = 7 + \frac{1}{3} = \frac{22}{3},
temos |a_{n}|\le M para todo n. Logo a sequência é limitada.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) é limitada.

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