Verificar se a aplicação
é uma transformação linear, em que
.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
O que se pede: verificar se
é uma transformação linear (ou seja, se é linear).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O domínio é
. - O contradomínio é
. - A fórmula explícita é
.
Passo 2
O que significa ser transformação linear? Vou explicar do zero, passo a passo, sem pular nada.
Definição: uma aplicação
entre dois espaços vetoriais sobre
,
é linear se, para todo
e todo escalar
, valem as duas propriedades:
Aqui
e
devem ser espaços vetoriais (por exemplo
é espaço vetorial). Uma consequência imediata e útil dessas propriedades é que a imagem do vetor zero deve ser o vetor zero do contradomínio: para qualquer transformação linear
vale
Prova curta desse fato (muito usada em provas): usando aditividade,
Subtraindo
dos dois lados (isto é, somando o inverso aditivo), obtemos
. Portanto qualquer função linear precisa enviar
em
.
Passo 3
Calculemos
. Pela definição da função exponencial,
Como vimos no passo anterior, uma transformação linear teria que satisfazer
. Aqui
. Logo já temos uma contradição com uma propriedade necessária de funções lineares. Portanto
não pode ser linear.
Passo 4
Para fixar a ideia, veja também que a função exponencial tem comportamento multiplicativo, não aditivo. Para quaisquer
,
Uma transformação linear exigiria
. Em geral um produto não é igual à soma, então a identidade verdadeira da exponencial é incompatível com aditividade.
Passo 5
Mostre um contraexemplo numérico para a aditividade: tome
e
. Então
enquanto
Como
, a propriedade
falha claramente.
Passo 6
Mostre um contraexemplo para a homogeneidade: escolha o escalar
e
. Temos
enquanto
Como
, a propriedade
também falha.
Passo 7
Observação adicional (importante conceitual): o contradomínio dado
nem sequer é um espaço vetorial sobre
, porque não contém o vetor zero (o número
não pertence a
) e não é fechado sob multiplicação por escalares negativos. Assim, já à partida não faz sentido falar de transformação linear com imagem em
no sentido usual — uma transformação linear tem que mapear para um espaço vetorial. Mesmo se ignorarmos esse detalhe de contradomínio e interpretarmos a função como
, os argumentos anteriores (por exemplo
) mostram que
não é linear.
Passo 8
Resumo intuitivo e incentivo: a função é uma exponencial que transforma soma em produto, e funções lineares precisam transformar soma em soma e respeitar multiplicação por escalares. Esses são dois mundos diferentes. Você já tem duas provas simples e diretas de que
não é linear: (i)
e (ii) contraexemplos numéricos para aditividade e homogeneidade. Bom trabalho — já viu rapidamente os pontos-chave que caem em provas!
Resposta
Não;
não é transformação linear.