Verificar se a aplicação F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} é uma transformação linear, em que F(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+^{*} definida por
F(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}.
O que se pede: verificar se F é uma transformação linear (ou seja, se é linear).
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio é \mathbb{R}.
  • O contradomínio é \mathbb{R}_+^{*}=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}.
  • A fórmula explícita é F(x)=(\tfrac{1}{3})^{x}.

Passo 2

O que significa ser transformação linear? Vou explicar do zero, passo a passo, sem pular nada.
Definição: uma aplicação L entre dois espaços vetoriais sobre \mathbb{R},
L: V \to W,
é linear se, para todo u,v\in V e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(aditividade)}\quad L(u+v)=L(u)+L(v),
\text{(homogeneidade)}\quad L(\alpha u)=\alpha\,L(u).
Aqui V e W devem ser espaços vetoriais (por exemplo \mathbb{R} é espaço vetorial). Uma consequência imediata e útil dessas propriedades é que a imagem do vetor zero deve ser o vetor zero do contradomínio: para qualquer transformação linear L vale
L(0)=0.
Prova curta desse fato (muito usada em provas): usando aditividade,
L(0)=L(0+0)=L(0)+L(0).
Subtraindo L(0) dos dois lados (isto é, somando o inverso aditivo), obtemos L(0)=0. Portanto qualquer função linear precisa enviar 0 em 0.

Passo 3

Calculemos F(0). Pela definição da função exponencial,
F(0)=\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=1.
Como vimos no passo anterior, uma transformação linear teria que satisfazer F(0)=0. Aqui F(0)=1\neq 0. Logo já temos uma contradição com uma propriedade necessária de funções lineares. Portanto F não pode ser linear.

Passo 4

Para fixar a ideia, veja também que a função exponencial tem comportamento multiplicativo, não aditivo. Para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
F(x+y)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x+y}=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=F(x)\,F(y).
Uma transformação linear exigiria F(x+y)=F(x)+F(y). Em geral um produto não é igual à soma, então a identidade verdadeira da exponencial é incompatível com aditividade.

Passo 5

Mostre um contraexemplo numérico para a aditividade: tome x=1 e y=1. Então
F(1+1)=F(2)=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9},
enquanto
F(1)+F(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Como \frac{1}{9}\neq\frac{2}{3}, a propriedade F(x+y)=F(x)+F(y) falha claramente.

Passo 6

Mostre um contraexemplo para a homogeneidade: escolha o escalar \alpha=2 e x=1. Temos
F(2\cdot1)=F(2)=\frac{1}{9},
enquanto
2\cdot F(1)=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Como \frac{1}{9}\neq\frac{2}{3}, a propriedade F(\alpha x)=\alpha F(x) também falha.

Passo 7

Observação adicional (importante conceitual): o contradomínio dado \mathbb{R}_+^{*} nem sequer é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, porque não contém o vetor zero (o número 0 não pertence a \mathbb{R}_+^{*}) e não é fechado sob multiplicação por escalares negativos. Assim, já à partida não faz sentido falar de transformação linear com imagem em \mathbb{R}_+^{*} no sentido usual — uma transformação linear tem que mapear para um espaço vetorial. Mesmo se ignorarmos esse detalhe de contradomínio e interpretarmos a função como F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, os argumentos anteriores (por exemplo F(0)=1) mostram que F não é linear.

Passo 8

Resumo intuitivo e incentivo: a função é uma exponencial que transforma soma em produto, e funções lineares precisam transformar soma em soma e respeitar multiplicação por escalares. Esses são dois mundos diferentes. Você já tem duas provas simples e diretas de que F não é linear: (i) F(0)\neq 0 e (ii) contraexemplos numéricos para aditividade e homogeneidade. Bom trabalho — já viu rapidamente os pontos-chave que caem em provas!

Resposta

Não; F não é transformação linear.

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